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Question

Creo que para cada primo$p$ tenemos$\sqrt p \in \mathbb Q(\zeta_{4p})$ cuando$\zeta_{4p}$ es una raíz 4p-th primitiva de la unidad. Pero no tengo idea de probarlo.

¿es verdad? ¿Puede alguien ayudarme con una prueba?

Gracias.

Answer 1

Sí, es cierto. Para$p=2$ esto está claro porque$\zeta_8 = \frac{1+i}{\sqrt{2}}$. De lo contrario, deje que$p$ sea un primo impar. Luego, al evaluar la suma de Gauss cuadrática$\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p} \right) \zeta_p^{i} = \sqrt{p^{*}}$, donde$p^* = p$ if$p \equiv 1 \pmod{4}$, y$-p$ de lo contrario, vemos que$\sqrt{p^*} \in \mathbb Q(\zeta_p)$. Entonces, si nos unimos más a$i= \zeta_4$, obtenemos ese$\sqrt{p} \in \mathbb Q(\zeta_{4p})$.

Answer 2

Otra forma de ver que $\sqrt{n}$ es en el campo de $\mathbb{Q}( \zeta_n, i)$ ($n$ impares) es considerar la matriz de transformación discreta de Fourier de orden $n$ $$\mathcal{F}_n\colon =\frac{1}{\sqrt{n}} \cdot (e^{\frac{2\pi i k l} {n}})_{0\le k,l \le n-1}$$ $\mathcal{F}_n$ es una matriz unitaria de orden $4$ ($\mathcal{F}_n^4 = I_n$) por lo que sus valores propios son en el conjunto de $\{1, i, -1, -i\}$. Por lo tanto, su seguimiento $$\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=0}^{n-1} e^{\frac{2\pi i k^2}{n}}$$ es un número entero combinación de $1$ $i$ (uno puede determinar con precisión el valor). Por otra parte, si $n$ es impar, entonces la traza no es $0$.

Obs: para $n=p$ impar primer cuadratura de Gauss sumas $\sum_{k=0}^{p-1} e^{\frac{2\pi i k^2}{p}}$ $\sum \left( \frac{a}{p}\right ) e^{2\pi i a /p}$ coinciden.