Aproximación de la función exponencial por series de potencias.

Question

Dejar $x \in (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}), n \in \mathbb{N}$

¿Cómo puedo elegir un$n$ que la desigualdad es válida?

PS

Mis ideas: pruebe algunos valores para$$\left|e^x-\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\right| \leq \frac{|e^x|}{10^{16}}$ y verifique la desigualdad para un valor mayor que$n$ y menor que$-1/2$ debido a la monotonía de la función exponencial ... Pero no pude encontrar una $1/2$.

Answer 1

Por la fórmula de Taylor con el resto integral,

$$ \left|e^{x}-\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\right| = \left|\frac{1}{n!}\int_{0}^{x} e^t(x-t)^n\,dt\right|\leq e^{|x|}\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\leq \frac{e^{|x|}}{2^{n+1}(n+1)!} $ $ por lo tanto, es suficiente elegir algunos$n$ tal que$2^{n+1}(n+1)!\geq 10^{16}$.
$ n = \color{red}{14}$ hace el trabajo.

Answer 2

PS

$$ \ left | x ^ {n +1} {\ left [\ frac {1} {(n +1)!} + \ frac {x} {(n +2)!} + \ frac {x ^ 2 } {(n +3)! + \ cdots} \ right]} + \ cdots \ right | \ le | x | ^ {n +1} {\ left [\ frac {1} {0!} + \ frac { x} {1!} + \ frac {x ^ 2} {2!} {+ \ cdots} \ right]} = | x | ^ {n +1} e ^ x \ le \ frac {1} {2 ^ {n +1}} e ^ x $$ Ahora elija$$e^x-\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}= \sum_{k=n+1}^\infty \frac{x^k}{k!}= \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+ \frac{x^{n+2}}{(n+2)!}+\cdots = x^{n+1} {\left[ \frac{1}{(n+1)!}+ \frac{x}{(n+2)!}+\frac{x^2}{(n+3)!}+\cdots\right]} $ para que$n$.