Deje $f: (0, \infty) \rightarrow (0,\infty)$ ser una función continua que satisface la desigualdad $$f(x) + f(y) \geq 2f(x+y).$$ Es $f$ necesariamente monotono?
Respuesta
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Lorenzo Q.
Puntos
18
Para construir un contraejemplo, partamos de la función $f(t)=e^{-t}$, lo que satisface la principal desigualdad ($f(x)+f(y)\geq 2f(x+y)$ todos los $x,y>0$): $$e^x+e^y\geq 2 \Rightarrow e^{-x}+e^{-y}\geq 2e^{-x-y},\qquad \forall x,y>0 $$ Ahora vamos a $a>0$. Queremos redefinir $f$ (sólo) en $[a,+\infty)$, de modo que $f$ todavía es continua y satisface la principal desigualdad, a pesar de no ser necesariamente monótona. Para este objetivo tenemos que añadir el siguiente requisito para $f$: $$ e^{-t}\leq f(t)\leq \beta e^{-t},\qquad \forall t\geq a\qquad (*) $$ para algunos $\beta >1$. Esto no es demasiado restrictiva, ya que claramente hay un montón de no-monotónica funciones que cumpla estos requisitos. Por otro lado, ahora podemos comprobar que esta función siempre satisface la principal desigualdad.
Pick $x,y>0$$x\leq y$. Al $x+y\leq a$ (lo que implica $x,y\leq a$) la desigualdad descaradamente tiene porque no para la función de $e^{-t}$ (recordemos que $f(t)=e^{-t}$ si $t\leq a$). Eso solo nos deja el caso en que $x+y\geq a$.
Si $x+y\geq a$, $(*)$ tenemos $$f(x)+f(y)\geq e^{-x}+e^{-y}$$ $$2f(x+y)\leq 2\beta e^{-x-y} $$ Por tanto, la principal desigualdad se cumple si $$e^{x}+e^y\geq 2\beta$$ Pero $x+y\geq a$, y dado que la función de $x\mapsto e^x+e^{a-x}$ tiene un mínimo en $x=a/2$, obtenemos $$e^x+e^y\geq e^x+e^{a-x}\geq 2e^{a/2} $$ y $$2e^{a/2}\geq 2\beta \iff \beta \leq e^{a/2} $$ cual es razonable, ya que $e^{a/2}>1$ al $a>0$.
En conclusión, si $1<\beta\leq e^{a/2}$, a continuación, una función de $f$ con las propiedades descritas, satisface la principal desigualdad. Sin embargo, esta función todavía no es necesariamente monótona.
Comentario: me parece interesante la forma de una función de $f$ satisfactorio ( * ) sólo debe ser igual a $e^{-t}$ (arbitrario pequeño) intervalo de $[0,a]$, mientras que puede tomar diferentes valores para todos los $t\geq a$. Por otro lado no podemos dejar de tomar valores arbitrarios para todos los $t>0$ (es decir, establecimiento $a=0$), de lo contrario no podría satisfacer la principal desigualdad, independientemente del valor de $\beta$. De hecho, el principal de la desigualdad nos dice que $f(x)\leq f(0)$ todos los $x$ (elija $y=0$), y si $a=0$ esta condición no se cumpla. En cambio, si $a>0$,$f(x)\leq \beta e^{-x}\leq \max \left\{\beta e^{-a};f(0)\right\}$$\beta e^{-a}\leq \beta e^{-a/2}\leq 1=f(0)$.
