Inadecuado Integral De La $\int_0^2 \frac{1}{\sqrt{x}} \ \text{d}x$

Question

Tengo que encontrar el valor de: $$\int_0^2 \dfrac{1}{\sqrt{x}} \ \text{d}x$$ Aquí está mi trabajo hasta el momento: $$\int_0^2 \dfrac{1}{\sqrt{x}} \ \text{d}x$$ $$=\int_0^2 x^{-1/2} \ \text{d}x$$ $$=\left.2x^{1/2}\right|_0^2$$ En este punto, yo estaba a punto de aplicar el Teorema Fundamental, entonces me di cuenta de que la función es discontinua en a $x=0$, por lo que la integral no existe. Sin embargo, la respuesta es $2\sqrt{2}$, que es lo que habría obtenido si el Teorema Fundamental del Cálculo podría haber sido aplicada. En primer lugar, ¿cómo hago para conseguir $2\sqrt{2}$, y la segunda, es simplemente una coincidencia que la respuesta es $2\sqrt{2}$?

Answer 1

La función de $1/\sqrt{x}$ no está definido en $0$, por lo que es un abuso de notación para escribir $$\int_0^2 \dfrac{1}{\sqrt{x}} \ dx$$

Eres realmente se pide calcular la integral impropia $$ \lim_{t \to 0^+} \int_t^2 \frac{1}{\sqrt{x}} dx$$