Qué $f_{n}(x)=(1+x^{2n})^{1/2n}$ convergen uniformemente en $\mathbb{R}$.

Question

¿La secuencia de funciones definidas por $f_{n}(x)=(1+x^{2n})^{1/2n}$ convergen uniformemente en $\mathbb{R}$.

Para las pruebas de convergencia uniforme sé si la secuencia de $x_{n} = \sup \: \{ |f_{n}(x)-f(x) | : x \in \mathbb{R}\}$ converge a $0$ $f_{n} \to f$ uniformemente. Pero no sé cómo aplicar este resultado.

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, supongamos $x\ge0$$n\ge1$.

Para $x\ge1$, la fórmula para la suma de una serie geométrica de los rendimientos $$ \begin{align} (1+x^{2n})^{\raise{2pt}{\large\frac{1}{2n}}}-x &=\frac{(1+x^{2n})-x^{2n}}{\sum\limits_{k=1}^{2n}(1+x^{2n})^{\raise{2pt}{\large\frac{k-1}{2n}x^{2n-k}}}}\\ &\le\frac{1}{2n}\tag{1} \end{align} $$ Para $x\le1$, el Valor medio Teorema dice $$ \begin{align} (1+x^{2n})^{\raise{2pt}{\large\frac{1}{2n}}}-1 &\le2^{\raise{2pt}{\large\frac{1}{2n}}}-1\\ &=e^\xi\left(\frac{1}{2n}\log(2)-0\right)\\ &\le\frac{\log(2)}{\sqrt{2}\,n}\tag{2} \end{align} $$ para algunos $\xi\in(0,\frac{1}{2n}\log(2))$

Las estimaciones de la $(1)$ $(2)$ garantía de convergencia uniforme para $$ f(x)=\left\{\begin{array}{} 1&\text{if }|x|\le1\\ |x|&\text{if }|x|>1 \end{array}\right. $$