Sea $x_{1},x_{2},...,x_{m}$ sean elementos de $\mathbb{A}^{n}$ donde $\mathbb{A}^{n}$ es el espacio n-afín sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ . Ahora defina $X=\{x_{1},x_{2},...,x_{m}\}$ . ¿Por qué el anillo de coordenadas $A(X)$ es isomorfo a $\oplus_{j=1}^{m} k = k^{m}$ ?
Respuestas
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El anillo de coordenadas $A(X)$ se define como el cociente de $k[z_1,\ldots,z_n]$ (Estoy utilizando $z_i$ porque está utilizando $x_i$ para denotar los puntos del espacio afín) por el ideal $I(X)$ . Lo ideal $I(X)$ es el ideal de todos los elementos de $k[z_1,\ldots,z_n]$ que son cero en $X$ .
Por la Nullstellensatz, el ideal correspondiente a un único punto $x_i = (x_{i1},\ldots,x_{in})$ viene dada por $(z_1-x_{i1}, z_2-x_{i2},\ldots,z_n-x_{in})$ .
El ideal de una unión es la intersección de los ideales; por lo que está tratando de mod out por $$\bigcap_{i=1}^m (z_1-x_{i1},\ldots,z_n-x_{in}).$$
Pero los ideales $(z_1-x_{i1},\ldots,z_n-x_{in})$ son ideales maximales, ya que $k[z_1,\ldots,z_n]/(z_1-x_{i1},\ldots,z_n-x_{in}) \cong k$ . Si todos son distintos, entonces son comaximales por pares y, por tanto, coprimos por pares. Por el Teorema Chino del Resto, sabemos que si $\mathfrak{p}_1,\ldots,\mathfrak{p}_k$ son ideales coprimos pares en $R$ entonces $$\frac{R}{\mathfrak{p}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{p}_k} \cong \frac{R}{\mathfrak{p}_1}\oplus\cdots\oplus\frac{R}{\mathfrak{p}_k}.$$
Así que tenemos que $$A(X) = \frac{k[z_1,\ldots,z_n]}{\cap_{i=1}^m(z_1-x_{i1},\ldots,z_n-x_{in})} \cong \mathop{\bigoplus}_{i=1}^m \frac{k[z_1,\ldots,z_n]}{(z_1-x_{i1},\ldots,z_m-x_{im})} \cong \mathop{\bigoplus}_{i=1}^m k.$$
Bryan Roth
Puntos
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Para cada $i$ , $A(\{x_i\}) = k[x]/I(x_i) \cong k$ por lo que cada $I(x_i)$ es un ideal maximal de $k[x]$ . Supongo que los puntos $x_1,\ldots,x_n$ son distintos, de lo que se deduce fácilmente que los ideales $I(x_1),\ldots,I(x_n)$ son ideales maximales distintos. Por lo tanto son comaximal por pares y el Teorema chino del resto -- véase, por ejemplo $\S 4.3$ de estas notas -- se aplica. Te dejo a ti comprobar que da la conclusión que quieres.
