Serie infinita y su límite superior e inferior.

Question

Estoy aprendiendo el análisis por mi cuenta y estoy perplejo con la siguiente pregunta.

Considerar la serie de $$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots$$ Indique si la serie converge o diverge.

La siguiente es lo que yo era capaz de conseguir.

Primero me di cuenta de que $$a_n = \frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}$$ would be a simple and nice form of this sequence, so according to the ratio test, $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{6} \left( \frac{3+2(\frac{2}{3})^n}{1+(\frac{2}{3})^n}\right) = \frac{1}{2}$$ por lo tanto, la serie debe converger.

Sin embargo, más tarde se entendió el concepto de la parte superior de un menor límites un poco, para sacar $$ a_n = \begin{cases} \frac{1}{2^n}, & \text{if %#%#% is odd} \\ \frac{1}{3^{n-1}}, & \text{if %#%#% is even} \\ \end{casos}$n$$n$$$ I figured out the following $n$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n = 0$$ when $$ is odd and $$ n es par.

A través de esta experiencia me di cuenta y me entiende de verdad cómo un subsequence de una secuencia puede tener múltiples límites, y el supremum y el infimum de los límites que nos dan los límites superior e inferior, respectivamente. Pero el libro hace algo diferente de lo que yo hice, y me gustaría tener las siguientes preguntas.

1),$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^n = +\infty$ a mi entender, la prueba de razón nos dice que $ when $ diverge cuando el límite superior es mayor que 1. Claramente uno de los límites va a $\quad$, así que ¿por qué no llegamos a la conclusión de que las series divergen ?

2),$\Sigma a_n$ me enteré de que por la elección de la larga, el límite puede o mayn no ser diferente. En el caso de que es diferente, ¿cómo sabemos cuál es el supremum y infimum? Sería claro que si fueran $+\infty$, pero en mi caso, ¿por qué es garantizado que no hay otra larga que tiene un límite negativo ? Hay una expresión algebraica manera de garantizar que la de ellos ? O ¿siempre tenemos que entender conceptualmente todos los subsequential límites.

3),$\quad$ El libro dice que la relación de la prueba no es concluyente, que me pone de nuevo a la pregunta 1), pero se usó la prueba de razón para determinar que la serie converge. De acuerdo a mi par-impar sabio definición de $\pm \infty$, "el mayor límite" (yo soy propósito no decir supremum porque no sé cómo se garantiza que es el supremum) mediante la prueba de razón puede ser encontrado como $\quad$$a_n$$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2^n}} = {1 \over 2}$$ But the book says $2n$?

Alguien me puede ayudar ?

Edit:Gracias por ayudarme con todo el mundo! Realmente lo aprecio.

Answer 1

Por el emparejamiento de términos adyacentes, usted realmente ha cambiado la serie con el que estamos trabajando: usted está trabajando con $\sum_{n\ge 1}\left(\frac1{2^n}+\frac1{3^n}\right)=\sum_{n\ge 1}\frac{2^n+3^n}{6^n}$, la serie cuyo $n$-ésimo término es $\frac{2^n+3^n}{6^n}$. El ratio de prueba funciona bien en esta serie:

$$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{6^{n+1}}}{\frac{2^n+3^n}{6^n}}&=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{6(2^n+3^n)}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}}{6(2^n+3^n)}+\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}}{6(2^n+3^n)}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{2^n}{3(2^n+3^n)}+\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{2(2^n+3^n)}\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac1{3\left(1+\left(\frac32\right)^n\right)}+\lim_{n\to\infty}\frac1{2\left(\left(\frac23\right)^n+1\right)}\\ &=0+\frac12\\ &=\frac12\;, \end{align*}$$

que es esencialmente el cálculo que se hizo. Sin embargo, si se aplica el test del cociente a la serie original, se encuentra que si el $n$-ésimo término es $a_n$, luego

$$a_n=\begin{cases} \frac1{2^{(n+1)/2}},&\text{if }n\text{ is odd}\\\\ \frac1{3^{n/2}},&\text{if }n\text{ is even}\;, \end{casos}$$

así que

$$\begin{align*} \frac{a_{n+1}}{a_n}&=\begin{cases} \frac{1/3^{(n+1)/2}}{1/2^{(n+1)/2}},&\text{if }n\text{ is odd}\\\\ \frac{1/2^{(n+2)/2}}{1/3^{n/2}},&\text{if }n\text{ is even} \end{casos}\\\\ y=\begin{cases} \left(\frac23\right)^{(n+1)/2},&\text{if }n\text{ is odd}\\\\ \frac12\left(\frac32\right)^{n/2},&\text{if }n\text{ is even}\;. \end{casos} \end{align*}$$

Por lo tanto, $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$ no existe: los términos con los impares índices se acercan a $0$, pero los que tienen los índices están aumentando sin límite. Ya que el límite no existe, la relación de la prueba no es concluyente.

La prueba de razón de aplicar a su modificación serie da la respuesta correcta porque la original de la serie es absolutamente convergente; esto permite que usted combine los términos adyacentes como lo hizo, pero ya que usted no sabe de antemano que la serie converge, usted no puede hacer uso de el hecho de demostrar que converge.

Answer 2

El aún son los términos de una serie geométrica, con suma $\frac{1/3}{1-1/3}=\frac{1}{2}$. El extraño son los términos de una serie geométrica, con suma 1. Debido a que todos los términos son positivos, la serie es absolutamente convergente, entonces usted puede reordenar los términos raros ir primero, y luego las condiciones. Por lo tanto el conjunto de la serie es convergente con suma $\frac{3}{2}$.

En respuesta a sus preguntas específicas, la relación de la prueba es, de hecho, no concluyente en este caso, porque el límite de los cocientes no existe. Eso no significa que la serie diverge, significa que la prueba no ayuda. El supremum es infinito, el infimum es finito, por lo que incluso con que el refinamiento de la relación de la prueba es concluyente.

Con respecto a la tercera pregunta, la n-ésima raíz de la prueba es de aproximadamente específicamente el n-ésimo término. En esta serie, $\frac{1}{2^n}$ es el 2n-ésimo término. Si se agrupan los términos pares como lo hizo, entonces usted necesita para tomar el límite de $\sqrt[n]{\frac{1}{2^n}+\frac{1}{3^n}}$.

Answer 3

La prueba de razón dice que SI un cierto límite es menor que $1$ luego de cierta serie converge y SI ese límite es de más de $1$ luego de que la serie diverge. La prueba de razón de no decir si la serie converge o diverge en los casos en que ese límite no existe (ni cuando es igual a $1$). En este caso, el límite en la prueba de razón de no existir, por lo que el ratio de la prueba (en esa forma, al menos) no indica si la serie converge o no. Así, la prueba de razón de no dar ninguna conclusión que puede contradecir a otra conclusión acerca de si la serie converge.

Answer 4

1) ... es divergente cuando el menor límite de $a_{n+1}$ $a_n$es mayor que $1$. Si, en efecto, dice: "la parte superior" no, es un error de imprenta.

2) no puedo entender lo que están pidiendo. Se puede reformular la pregunta de una manera más clara?

3) Formalmente $1/2^n$ encuentra en la $2n-1$-ésima posición en la serie original, por lo que realmente debería ser $\lim_{n\to\infty}\sqrt[2n-1]{1/2^n}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Por supuesto, si se quita de la mitad de los términos, de cambiar la indexación y, como consecuencia, la cantidad en la raíz de la prueba.