Si el cierre de los dos subconjuntos de un espacio topológico son iguales, son los cierres de las imágenes de los dos subconjuntos bajo un mapa continuo también iguales?

Question

Supongamos $A$ $B$ son subconjuntos de un espacio topológico $X$ tal que $\newcommand{cl}{\operatorname{cl}}\cl(A) = \cl(B)$.

Deje $f\colon X\to Y$ ser un mapa continuo de espacios topológicos.

Eso no significa que $\cl(f(A)) = \cl(f(B))$?

Answer 1

Deje $S\subset Y$ ser un conjunto cerrado que contiene a $f(A)$. Desde $f$ es continua, $f^{-1}(S)$ también está cerrada. Por otra parte, hemos $$f^{-1}(S)\supset f^{-1}(f(A))\supset A.$$ Por lo tanto, vemos que $\cl(B)=\cl(A)\subset f^{-1}(S)$. En particular, se ha $B\subset f^{-1}(S)$. La aplicación de $f$, obtenemos $$ f(B)\subset f(f^{-1}(S))\subset S.$$

Por lo tanto, cualquier conjunto cerrado que contiene a $f(A)$ también contiene $f(B)$. Por simetría, cualquier conjunto cerrado que contiene a $f(B)$ también contiene $f(A)$. Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que $\cl(f(A))=\cl(f(B))$.

Answer 2

$\newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}\newcommand{\Obr}[2]{{#1}[{#2}]}$Una función entre dos espacios topológicos $X$ $Y$ es continua si y sólo si $\Obr f{\ol A}\subseteq\ol{\Obr fA}$ es válido para cada $A\subseteq X$, véase, por ejemplo, Wikipedia.

Ahora si $f$ es continua y $M\subseteq N\subseteq \ol M$,$\ol{\Obr fM}=\ol{\Obr fN}$. Para ver que esto tiene, acaba de darse cuenta de que $\Obr fM \subseteq \Obr fN \subseteq \Obr f{\ol M} \subseteq \ol{\Obr fM}$. Si aplicamos el cierre a $\Obr fM \subseteq \Obr fN \subseteq \ol{\Obr fM}$, obtenemos $\ol{\Obr fM} \subseteq \ol{\Obr fN} \subseteq \ol{\Obr fM}$.

Ahora bien, si utilizamos la observación anterior para$M=A$$N=\ol B$, obtenemos $\ol{\Obr fA}=\ol{\Obr f{\ol B}}\supseteq \ol{\Obr fB}$. Por simetría, el opuesto a la inclusión debe ser verdad, demasiado. Por lo tanto $\ol{\Obr fA}=\ol{\Obr fB}$.

Answer 3

La respuesta es sí. (Gracias Dejan Gove para señalar que mi primer intento, que trataron de demostrar que la respuesta es no, estaba equivocado!)

Por simetría, es suficiente para demostrar $\overline{fA}\subset \overline{fB}$.

Deje $y\in \overline{fA}$; tomar una neto $a_i\in A$$y=\lim_i f(a_i)$.

A continuación,$a_i\in A\subset\overline{A}=\overline{B}$, por lo tanto $f(a_i)\in f(\overline{B})\subset \overline{fB}$ (el último de la inclusión tiene por continuidad).

Desde el cierre se cierra, $y=\lim_i f(a_i)\in \overline{fB}$.