Hay alguien que me pueda ayudar a probar que si $D$ es contable, y $f$ es una función cuyo dominio es$D$, $f(D)$ es finito o contable?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Recordemos que $f$ es una colección de pares ordenados tales que si $\langle a,b\rangle$ $\langle a,c\rangle$ están en $f$$b=c$.
Además, $f(D)=\{b\mid\exists a\in D:\langle a,b\rangle\in f\}$. Puesto que para cada $a\in D$ existe en la mayoría de un par ordenado en $f$ que $a$ aparece en la parte izquierda de coordenadas, podemos definir una función inyectiva de a $f(D)$ a $D$.
Supongamos $D=\{d_n\mid n\in\mathbb N\}$, $b\in f(D)$ definir $\pi(b)=d_n$ donde $n=\min\{k\in\mathbb N\mid f(d_k)=b\}$. Se debe verificar que este de hecho es una función inyectiva.
Recordar que si tenemos una función inyectiva de a $A$ a $B$ $|A|\leq |B|$ e si $|B|$ es contable, a continuación, $A$ debe ser contables (o finito). A partir de aquí la prueba está a punto de hacer.
En realidad esto depende de su definición de contables o finito: Si su definición de contables o finita, es "tiene una inyección de $A$ a $\mathbb N$" se puede demostrar que esto es equivalente a "no es un surjection de $\mathbb N$ a $A$" a través de un argumento similar a lo que escribí anteriormente.
El uso de la segunda definición se puede discutir simplemente:
Desde $D$ es contable (o finito) hay algunos $g\colon\mathbb N\to D$ que es un surjection, por lo tanto, $f\circ g\colon\mathbb N\to f(D)$ es un surjecitve función y, por tanto, $f(D)$ es contable (o finito).
Shabaz
Puntos
403
Avi Flax
Puntos
14898
Usted no puede tener más elementos en la imagen de un conjunto bajo una función en el dominio-que es básicamente el punto de Gastón post anterior. He aquí otra manera de expresar lo que es la prueba más clara: Consideremos el producto Cartesiano de definición de una asignación de una contables conjunto D en un conjunto E, donde la imagen de f es un subconjunto de E. (yo sé,duh-pero cuando usted está tratando de entender en matemáticas por qué algo es cierto, es que vale la pena lo que es evidente es así que asegúrese de comprender las definiciones). Una función, por definición, es un conjunto de pares ordenados donde no hay 2 diferentes pares ordenados tienen el mismo primer miembro. Así que pregúntate algo y la prueba será claro: se Puede construir un conjunto de pares ordenados que representan a f:D \begin{align} \frac{\langle h,w\rangle}{|\langle h,w\rangle|}d &=\frac{\langle h,w\rangle}{\sqrt{w^2+h^2}}\frac{wh}{\sqrt{w^2+h^2}} \\ &=\frac{\langle h,w\rangle wh}{w^2+h^2} \\ &=\left\langle\frac{h^2w}{w^2+h^2},\frac{w^2h}{w^2+h^2}\right\rangle .\end> E si f(D) es incontable?
