La solución más sencilla a este geometría/trig problema?

Question

yo tenía una geometría/trignometry problema hasta hoy en el trabajo, y he estado fuera de la escuela es demasiado largo: he perdido mis herramientas.

estoy empezando con un rectángulo de conocidos ancho (w) y la altura (h). Para la gráfica de la simplificación que puede convertir en un ángulo recto del triángulo:

estoy tratando de encontrar las coordenadas de ese punto por encima de la cual es perpendicular a la origen:

he etiquetado el opuesto al ángulo t1 (es decir, theta1, pero Microsoft Paint no se puede hacer fácilmente griego y los subíndices), y deduzco que los dos triángulos son semejantes (es decir, tienen la misma forma):

Ahora nos vienen a mi problema. Dado w y h, encontrar x y y.

Ahora las cosas se ponen muy difícil mantener el dibujo de forma gráfica, para explicar mis intentos hasta ahora.

Pero si llamo a la longitud del segmento de línea común a ambos triángulos M:

entonces:

M = w∙sin(t1)

Ahora puedo concentrarme en el otro triángulo, que voy a llamar a O-x-M:

y usar trigonometría para romper hacia abajo, dando:

x = M∙sin(t1)
  = w∙sin(t1)∙sin(t1)

y = M∙cos(t1)
  = w∙sin(t1)∙cos(t1)

con

t1 = atan(h/w)

Ahora funciona esto (creo, que en realidad no he probado todavía), y voy a dar a un ordenador, por lo que la velocidad no es terriblemente importante.

Pero dios mío, debe de haber una manera más fácil de llegar allí. me siento como que me falta algo.

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Por el camino, lo que esto va a ser utilizada es el dibujo de un gradiente lineal en el que a lo largo de la perpendicular:

Answer 1

Una ecuación para la hipotenusa del triángulo rectángulo es $y=-\frac{h}{w}x+h$. Su pendiente es $-\frac{h}{w}$ (cambio en $y$-coordinar más de variación en $x$-coordinar). La pendiente de cualquier recta perpendicular a la hipotenusa es $\frac{w}{h}$ (líneas perpendiculares tienen pendientes con producto $-1$, o a veces se dice que la pendiente de una línea perpendicular es el "recíproco opuesto"), así que una ecuación para la recta que pasa por el origen y perpendicular a la hipotenusa es $y=\frac{w}{h}x$. El punto que se quiere es la solución del sistema de ecuaciones: $$\begin{align}y&=-\frac{h}{w}x+h\\y&=\frac{w}{h}x\end{align}$$

Estas ecuaciones dan dos expresiones que son iguales a $y$, a fin de establecer la igualdad de: $$-\frac{h}{w}x+h=\frac{w}{h}x$$ and solve:$$h=\left(\frac{w}{h}+\frac{h}{w}\right)x=\frac{w^2+h^2}{wh}x$$ $$x=\frac{h^2w}{w^2+h^2}$$ El uso de una de las ecuaciones originales para encontrar $y$: $$y=\frac{w}{h}x=\frac{hw^2}{w^2+h^2}$$

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editar el Trabajo de Hans Lundmark respuesta del método final, un vector desde el origen hasta el punto deseado, es en la misma dirección como $\langle\frac{1}{w},\frac{1}{h}\rangle$ o, equivalentemente,$\langle h,w\rangle$. La distancia desde el origen hasta el punto deseado es la longitud de la altura-llamar a esta $d$. Buscando en la zona de el triángulo, es $\frac{1}{2}wh$$\frac{1}{2}d\sqrt{w^2+h^2}$, lo $d=\frac{wh}{\sqrt{w^2+h^2}}$. El deseado vector es así $$\begin{align} \frac{\langle h,w\rangle}{|\langle h,w\rangle|}d &=\frac{\langle h,w\rangle}{\sqrt{w^2+h^2}}\frac{wh}{\sqrt{w^2+h^2}} \\ &=\frac{\langle h,w\rangle wh}{w^2+h^2} \\ &=\left\langle\frac{h^2w}{w^2+h^2},\frac{w^2h}{w^2+h^2}\right\rangle .\end{align}$$

Answer 2

Parametrizar la línea de$(w,0)$$(0,h)$$(w,0) + t(-w, h)$. A continuación, usted está buscando el punto de $(x,y)$ en la línea $(x,y)\cdot (-w,h) = 0$.

Answer 3

De otra manera: Se han identificado algunos de los ángulos iguales en su última cifra. Esto implica que varios de los triángulos rectángulos en la imagen son similares. Por ejemplo, $$ \frac{h}{w} = \frac{x}{y} = \frac{y}{w-x},$$ de las que no es demasiado difícil de resolver para $x$$y$.

Y otra: La hipotenusa se encuentra en la recta con ecuación de $x/w+y/h=1$ (desde los dos puntos de $(x,y)=(w,0)$ $(x,y)=(0,h)$ satisfacer esta ecuación, y dos puntos únicamente determinan una línea). El vector normal a una línea que puede ser leído a partir de los coeficientes de $x$$y$; es $\mathbf{n}=(1/w,1/h)$ en este caso. El punto que usted busca (permítanme llamarlo $(a,b)$ aquí) se encuentra en la línea que va desde el origen en la dirección que $\mathbf{n}$ puntos, por lo que el punto debe ser de la forma $(a,b)=t \mathbf{n} = (t/w,t/h)$ para un número $t$. Sustituyendo $(x,y)=(t/w,t/h)$ en la ecuación de la hipotenusa da $t(1/w^2+1/h^2)=1$, desde el que nos encontramos de $t$ y, por tanto, también $$(a,b)=\left( \frac{1/w}{1/w^2+1/h^2}, \frac{1/h}{1/w^2+1/h^2} \right).$$

Answer 4

Por diversión, aquí está otro enfoque ...

El área del triángulo está dada por $\frac{1}{2} w h$, pero es también dado por $\frac{1}{2}s m$ donde $s$ es la longitud de la hipotenusa y $m$ es la longitud de su segmento $M$. (Para ver por qué, voltear el triángulo más de lo que se ha sentado en su hipotenusa; luego, claramente, $s$ es la "base" e $m$ la "altura".) Por lo tanto,

$$w h = s m$$

Escrito $\theta$ por el ángulo que forma el segmento de $M$ hace con la horizontal, tenemos que

$$x = m \cos\theta = \frac{wh}{s}\cos\theta \hspace{0.5in} y = m\sin\theta = \frac{wh}{s}\sin\theta$$

Por semejanza de triángulos, $\theta$ es también el ángulo en la esquina superior del triángulo, por lo que

$$\cos\theta = \frac{h}{s} \hspace{0.5in} \sin\theta = \frac{w}{s}$$

y tenemos

$$x = \frac{wh^2}{s^2}=\frac{w h^2}{w^2+h^2} \hspace{0.5in} y = \frac{w^2 h}{s^2}=\frac{w^2h}{w^2+h^2}$$

Answer 5

Supongamos $h = (h_1,h_2)$$w = (w_1, w_2)$. Entonces usted sabe que la pendiente de la línea. Vamos a llamar a esta $m_1$. Usted también sabe que la línea perpendicular al punto de $(x,y)$ pendiente $-\frac{1}{m_1}$. Usted obtiene un sistema de ecuaciones.