Lisas esquemas adecuados sobre anillos de enteros con puntos por todas partes localmente

Question

[Edit: Pregunta 1 se ha movido a otra parte de modo que una respuesta a la Pregunta 2 se puede *aceptar*ed.]

Pregunta 2. Hay un campo de número de $K$, y una suave adecuado esquema de $X\to\operatorname{Spec}(\mathfrak{o})$ más de su anillo de enteros, de tal manera que $X(K_v)\neq\emptyset$ para cada lugar $v$ de $K$, y, sin embargo, $X(K)=\emptyset$ ?

Creo que la respuesta es Sí.

Observación. Deje $K$ ser un verdadero cuadrática campo, $\mathfrak{o}$ el anillo de enteros de $K$, e $A$ el álgebra de cuaterniones $K$ que es ramificado, exactamente en los dos lugares reales. Entonces la cónica $C$ correspondiente a $A$ es un buen proyectiva $\mathfrak{o}$-esquema tal que $C(\mathfrak{o})=\emptyset$ (debido a $C(K_v)=\emptyset$ para cada uno de los lugares reales $v$). Pero si insistimos en que la $C(K_v)\neq\emptyset$ en estos dos lugares reales $v$, $A$ tendría que dividir en estos $v$ (además de todo lo finito lugares), y tendríamos $C=\mathbb{P}_{1,\mathfrak{o}}$.

Más en general, vamos a $K$ ser un campo de número, $\mathfrak{o}$ su anillo de enteros, y deje $C$ ser un suave adecuado $\mathfrak{o}$-cuyo esquema genérico de fibra de $C_{K}$ es un trenzado $K$-forma de la proyectiva del espacio de algunos dimensión $n>0$. Si $C$ tiene puntos en todas partes a nivel local, a continuación,$C=\mathbb{P}_{n,\mathfrak{o}}$. Esta observación muestra que $X$ no puede ser una retorcida forma de un espacio proyectivo.

Answer 1

Respecto a la pregunta 2, ¿el siguiente trabajo? Deje $E$ ser racional curva elíptica con el entero $j$-invariante. Entonces hay un campo de número de $K$, de modo que $E \times_{\mathbb{Q}} K$ tiene un modelo suave sobre $\mathcal{O}_K$. Aproximadamente, $\mathbb{Q}(j^{1/6})$ debería funcionar, pero podría haber algunas sutilezas en 2 y 3. Si Sha de $E \times_{\mathbb{Q}} K$ es no trivial, entonces creo que un elemento de Sha debe corresponder a un torsor para $E \times_{\mathbb{Q}} K$ con la propiedad requerida.

No entiendo la curva elíptica mesas lo suficientemente bien como para saber cómo buscar en ellos para un ejemplo como este, pero presumiblemente uno de nuestros lectores.

Answer 2

Si las fibras de los morfismos $f: X\rightarrow\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ tiene dimensión $\leq 1$ los siguientes hechos son interesantes en cuanto a la pregunta 1:

1. Por un teorema de Minkowski el campo $\mathbb{Q}$ no tiene unramified extensiones. Si las fibras de $f$ tiene dimensión $0$ suavidad es lo mismo que ser etale así conduce a una unramified extensión de $\mathbb{Q}$.

2. Un teorema de la Fontaine demostrado en 1985, dice que no existe la adecuada suave curvas de más de $\mathbb{Q}$ de género $g\geq 1$ con buena reducción en todas partes.

Así, el caso de un no-racionales de la curva de género $0$ permanece, que es una curva con $g=0$ y sin un punto racional.

Answer 3

No hay duda de que tales ejemplos como el de David Speyer la respuesta de existir: en efecto, que existen en gran abundancia en el siguiente sentido:

Deje $k_1$ ser cualquier número de campo, y deje $E_{/k_1}$ ser cualquier curva elíptica con la forma de $j$-invariante. Entonces es potencialmente buena reducción, lo que significa que hay un número finito de extensión de $k_2/k_1$ tal que $E_{/k_2}$ es el genérico de la fibra de una abelian esquema más $\mathbb{Z}_{k_2}$. Además, vamos a $N$ ser su favorito entero que es mayor que $1$. Entonces existe un grado $N$ extensión de campo $k_3/k_2$ de manera tal que el Shafarevich-Tate grupo de $E_{/k_3}$ tiene un elemento de orden $N$ (de hecho, uno puede hacer arreglos para tener al menos $M$ elementos de orden $N$ por tu favorito entero positivo $M$): véase el Teorema 3 de

http://math.uga.edu/~pete/ClarkSharif2009.pdf

Dado que una buena reducción se conserva por la ampliación de la base, el género de una curva de $C_{/k_3}$ correspondiente al localmente trivial principal espacio homogéneo de $E_{/k_3}$ del período $N$ da una respuesta afirmativa a la Pregunta 2.

Ejemplos específicos de curvas elípticas sobre cuadrática campos con todo buena reducción son conocidos: ver, por ejemplo, la encuesta de papel

http://mathnet.kaist.ac.kr/pub/trend/shkwon.pdf

donde el ejemplo siguiente se aparece y se atribuye a Tate:

$E: y^2 + xy + \epsilon^2 y = x^3, \ \epsilon = \frac{5+\sqrt{29}}{2}$,

tiene en todas partes un buen reducción de más de $k = \mathbb{Q}(\sqrt{29})$. De hecho, la ecuación dada es suave sobre la $\mathbb{Z}_k$, ya que el discriminante es $-\epsilon^{10}$ $\epsilon$ es una unidad en $\mathbb{Z}_k$.

Si esta curva elíptica pasa a tener trivial Sha, gran. Si no, los resultados teóricos anterior implica que una ecuación cuadrática de la extensión de la misma tendrá un trivial $2$-torsión elemento de Sha, es decir, que existan algunos hyperelliptic ecuación de cuarto grado

$y^2 + p(x)y + q(x) = 0$

con $p(x), q(x)$ en el anillo de enteros de algunos cuadrática extensión de $K$$\mathbb{Q}(\sqrt{29})$, que es suave sobre la $\mathbb{Z}_K$ y viola el local-global principio.

Si alguien está interesado en el hecho de computación en la ecuación, yo diría que la mejor estrategia es la búsqueda de curvas elípticas definidas sobre cuadrática campos con todo buena reducción hasta que encuentre uno que ya tiene un 2-torsión elemento en su Shafarevich-Tate grupo. (No veo la manera de garantizar esto en teoría, pero me sorprendería si no fuera posible). Entonces es fácil escribir la definición de la ecuación.

Answer 4

Chandan preguntó a Vladimir y a mí para un ejemplo de una curva elíptica sobre un real cuadrática de campo que tiene en todas partes un buen reducción y no trivial sha, con un explícito de género 1 de la curva que representa algún elemento de sha. He aquí uno de los que se encuentran:

La curva elíptica y^2+xy+y = x^3+x^2-23x-44 sobre Q (Cremona referencia 4225m1) ha de reducción de tipo III en 5 y 13. Estos se convierten en I0* más de K=Q(sqrt(65)), y I0* pueden ser asesinados por una ecuación cuadrática de la torsión. Específicamente, la curva original también se puede escribir como y^2 = x^3+5x^2-360x-2800 sobre Q, y su cuadrática giro sobre K

E: sqrt(65)*U*y^2 = x^3+5x^2-360x-2800

tiene en todas partes un buen reducción sobre K; aquí U = 8+sqrt(65) es la unidad fundamental de K de la norma -1.

Ahora 2-descenso en el Magma dice que el 2-Selmer grupo de E/K es (Z/2Z)^4, de los cuales (Z/2Z)^2 es explicada por torsión. Por lo que tiene tiene el rango más K o no-trivial Sha[2], y de acuerdo a BSD su rango es de 0 como L(E/K,1)<>0 (de nuevo en Magma). En realidad, debido a que K es totalmente real, creo que resultados como los de Bertolini y Garmon podría demostrar que E ha Mordell-Weil rango de 0 en K incondicionalmente. Por lo que tiene de no-trivial Sha[2]. Después de algunos ligeramente dolorosa de minimización, uno de sus no-trivial de elementos corresponde a un espacio homogéneo

C: y^2 = (23562U+1462)x^4 + (4960U+240)x^3 + (1124U-291)x^2 + (141U-833)x + (50U-733)

con U como el anterior. Así que aquí es una curva tal que J(C) tiene en todas partes un buen reducción, y el principio de Hasse falla por C.

Espero que esto ayude!

Tim