Topologías de las funciones de prueba y distribuciones

Question

Me pregunto acerca de algunas de las propiedades topológicas de $\mathcal D(\Omega)$$\mathcal D'(\Omega)$:

1. Sé $\mathcal D(\Omega)$ no es metrizable, por lo que no es la primera contables (a la derecha?). Sin embargo, mi pregunta es: $\mathcal D(\Omega)$ trimestral?

2. Al $\mathcal D'(\Omega)$ está dotado con la débil* topología, es secuencial? (Supongo que esto es claramente no contables).

¿Por $\mathcal S$$\mathcal S'$?

Una de las razones por las que pido es que algunos autores parecen utilizar el teorema:

Dado $X$ secuencial del espacio, y $Y$ un espacio topológico, $f:X \rightarrow Y$ es continua si y sólo si $f$ es secuencialmente continua,

para el estado de que los operadores de la forma $T:\mathcal D'(\Omega)\rightarrow\mathcal D'(\Omega)$ son continuos (como la diferenciabilidad). Sin embargo, nunca parecen demostrar o incluso se menciona si $\mathcal D'(\Omega)$ es secuencial o no. Son ellos, de hecho, usando el teorema anterior, algunos de resultado, o es tal vez un descuido?

Answer 1

No creo que el $\mathscr D(\Omega)$ es secuencial. Por otro lado, este es, probablemente, no se utiliza: Por definitionn de la localmente convexo inductivo límite de la topología de $\mathscr D(\Omega)= \lim X_n$ (donde $X_n$ son los espacios de Frechet de las funciones lisas con apoyo en $K_n$ para un compacto de agotamiento) lineal mapa con valores en cualquier localmente convexo espacio es continuo si (y sólo si) todas las restricciones a $X_n$ son continuas y por esta secuencial continuidad es suficiente, puesto que los $X_n$ es metrizable.

Relación lineal mapas de $\mathscr D'\to \mathscr D'$ como parcial de los operadores diferenciales, que casi siempre se define como la transposición de los mapas de continuo a los operadores de $\mathscr D\to\mathscr D$ y por lo tanto continua con respecto a la débil* topología.

La situación para $\mathscr S$ $\mathscr S'$ es más sencillo porque $\mathscr S$ es metrizable.

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EDIT. $\mathscr D(\Omega)$ falla "mucho" para ser secuencial: incluso Hay lineal subespacios de forma secuencial cerrado, pero no cerrado (véase Klaus Floret, Algunos aspectos de la teoría de localmente convexo inductivo límites (1980)). Por otra parte, esto no es en absoluto un exótico fenómeno, pero el corazón de la materia cuando se trata con, por ejemplo, lineal parcial de los operadores diferenciales. Si $P:\mathscr D'(\Omega)\to\mathscr D'(\Omega)$ no es surjective pero surjective en el espacio de las funciones lisas, a continuación, el rango de $L$ de su transpuesta es un subespacio cerrado de $\mathscr D(\Omega)$ de manera tal que la relación de la topología de $\mathscr D(\Omega)$ es diferente desde el límite inductivo de la topología $\lim L\cap X_n$ y estas topologías incluso tener diferentes duales. Si $u:L\to \mathbb C$ es continua con respecto a la última, pero no continua con respecto a lo primero, su núcleo es de forma secuencial cerrado en $\mathscr D(\Omega)$ (ya que ambas topologías tienen las mismas secuencias convergentes), pero no está cerrado (ya que de lo contrario $u$ $\mathscr D(\Omega)$- continuo).