la evaluación de la integral de la $\int \frac{e^x(x^4+2)dx}{(x^2+1)^{5/2}}$

Question

Accidentalmente salió como este, pero necesito una multa de prueba. $$\int e^x\frac{d}{dx}\left(\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+\dfrac{x}{(x^2+1)^{3/2}}\right) dx$$

Soy incapaz de averiguar por qué las $$\int\dfrac{1-2x^2}{\left(1+x^2\right)^{5/2}}dx =\dfrac{x}{\left(x^2+1\right)^{3/2}}$$ (viene en el medio de problemas)

Por favor, dar consejos sobre cómo resolverlo.

Answer 1

Así que usted quiere encontrar una manera de mostrar:

$$\int\frac{1-2x^2}{\left(1+x^2\right)^{5/2}} \,\mbox{d}x =\dfrac{x}{\left(x^2+1\right)^{3/2}}$$

Deje $x = \tan t$, entonces: $$\int\dfrac{1-2x^2}{\left(1+x^2\right)^{5/2}} \,\mbox{d}x \to \int\dfrac{1-2\tan^2t}{\left(1+\tan^2t\right)^{5/2}} \sec^2 t \,\mbox{d}t$$

Ahora uso $1+\tan^2 = \sec^2t$ y simplificar:

$$\int\dfrac{1-2\bronceado^2t}{\s^3 t} \,\mbox{d}t = \int \cos t \left( 1-3\sin^2 t \right) \,\mbox{d}t =\sen t - \sin^3t + C$$ Primero que volver a escribir (esto hará que sea más fácil para sustituir volver y simplificar): $$\sin t - \sin^3t = \sin t \left( 1 - \sin^2t \right) = \sin t\cos^2t$$ Ahora usted puede sustituir $t = \arctan x$ nuevo y simplificar: $$\sin \left( \arctan x \right) \left( \cos \left( \arctan x \right) \right)^2 = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\left( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right)^2 = \frac{x}{(1+x^2)^{3/2}}$$