Pregunta:
Si $x \neq 0$, entonces prueba que $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac1{2^n} \tan\left(\dfrac{x}{2^n}\right) = \dfrac1{x} - \cot x.$
Mi respuesta:
Probé este resultado usando la siguiente identidad:
$$ \prod_{k=1}^n \cos\left(\frac{x}{2^k}\right) = \frac{\sin x}{2^n\sin \frac{x}{2^n}}$$
Tomé el logaritmo natural en ambos lados de la ecuación anterior y luego diferencié ambos lados para obtener
$$\sum_{k=1}^n \frac1{2^k} \tan\left(\frac{x}{2^k}\right) = \frac{1}{2^n}\cot \left(\frac{x}{2^n}\right) - \cot x.$$
Ahora tomando el límite de $n$ hacia $\infty$ obtengo la identidad requerida. $\blacksquare$
Nunca antes había visto la identidad anterior en mi vida. Me sorprendió y me impresionó esta identidad. Eso es porque nunca antes había visto una serie trigonométrica infinita sumando a una función racional como $\dfrac1{x}$.
Así que mis preguntas son las siguientes:
A) En primer lugar, ¿es correcta mi derivación? En segundo lugar, ¿alguien conoce una fuente para este problema?
B) ¿Existen otras derivaciones 'elementales' que tengan una serie trigonométrica infinita en un lado y una función racional en el otro? [Digo 'elementales' para evitar las series de Fourier. Supongo que las series de Fourier deben estar llenas de resultados similares.]
