La construcción de una métrica con discretos isometrías en el ámbito

Question

Deje $g$ ser una métrica de Riemann $\mathbb{RP}^n$, sin isometrías, excepto el de la identidad.

Deje $\pi:\mathbb{S}^n \to \mathbb{RP}^n$ ser la natural proyección, y considerar la retirada de métrica $\pi^*g$$\mathbb{S}^n$.

Es cierto que la única isometrías de $(\mathbb{S}^n,\pi^*g)$ son la identidad y la antipodal mapa?

(A ver que $f(x)=-x$ es una isometría, tenga en cuenta que $\, f^*(\pi^*g)=(\pi \circ f)^*g=\pi^*g. $

(Motivación: estoy tratando de construir métricas con un conjunto discreto de isometrías, y esto parecía una manera natural).

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Comentario: Si podemos probar cada isometría $\phi:(\mathbb{S}^n,\pi^*g) \to (\mathbb{S}^n,\pi^*g)$ puede ser proyectado a $\mathbb{RP}^n$, entonces hemos terminado.

En concreto, supongamos que $\phi(x)=\phi(-x)$ o $\phi(x)=-\phi(-x)$. Definir $\tilde \phi:\mathbb{S}^n \to \mathbb{RP}^n$ por $$\tilde \phi=\pi \circ \phi.$$

Nuestra suposición sobre la $\phi$ implica $\tilde \phi$ puede ser proyectada para el cociente, yo.e tenemos un mapa de $\psi:\mathbb{RP}^n \to \mathbb{RP}^n$

donde $\psi \circ \pi =\tilde \phi=\pi \circ \phi$. Entonces

$$ \pi^*\psi^*g=(\psi \circ \pi)^*g=(\pi \circ \phi)^*g=\phi^* \pi^*g=\pi^*g,$$ por lo $\psi^*g=g$, yo.e $\psi$ es una isometría, por lo $\psi=\text{Id} \Rightarrow \pi =\pi \circ \phi$, lo $phi$ es la identidad o la antipodal mapa.

Answer 1

Esto no es una respuesta, sino un comentario largo.

1. Me parece muy extraño que consideramos que el pull-back de las métricas en $RP^n$ como una forma natural para la construcción de métricas con discretos grupos de simetría en $S^n$. Una manera mucho más sencilla es multiplicar el estándar métrico en $S^n$ por algunos liso positivos función escalar $u$. Para la mayoría de las opciones de $u$, el resultado de la métrica tendrá ningún trivial auto-isometrías.

2. En cuanto a tu pregunta: El grupo de isometría de una métrica de Riemann $h=\pi^* g$ $S^n$ es un subgrupo compacto $G$$Diff(S^n)$, que contiene la antipodal involución $t: x\to -x$. Si $t$ pertenece al centro de $G$ cada $\phi\in G$ desciende a una isometría de $(RP^n,g)$.

Por el contrario, si $G$ es un compacto subgrupo de $Diff(S^n)$, existe un $G$-invariantes de Riemann métrica $h$$S^n$. Supongamos que $t\in G$ es una involución que actúa libremente en $S^n$. A continuación, $S^n/<t>$ es un homotopy $RP^n$, ver [1]. Suponga que $t$ no es exótica, es decir, este cociente es diffeomorphic a $RP^n$. Si $t$ ha trivial centralizador en $G$, entonces ninguno de los elementos de $G$ proyectos a un trivial diffeomorphism de $RP^n$. Si $t$ ha trivial centralizador $C_G(t)$ $G$ (i.e el centralizador es estrictamente mayor que $<t>$), a continuación, reemplace $G$$C_t(G)$, en tanto que es un compacto de Lie del grupo.

Este, su pregunta es equivalente a:

Pregunta. Supongamos que $G$ es un compacto subgrupo de $Diff(S^n)$ que contiene un punto fijo sin exóticas involución $t$. Qué $t$ pertenecen al centro de $G$?

(La respuesta positiva a esta pregunta es equivalente a la positiva respuesta a su pregunta.)

(a) La respuesta es positiva si $G$ es topológicamente linearizable, es decir, es topológicamente conjugadas a un subgrupo $H$$O(n)$: Bajo esta conjugación, $t$ corresponde a $-I$ (la única transformación ortogonal de no tener fija la unidad de vectores), por lo tanto, en el centro de $H$, por lo tanto, $t$ es central en $G$.

(b) se sabe que todo compacto subgrupos de $Diff(S^n)$, $n\le 4$, son suavemente linearizable. Por lo tanto, la respuesta es positiva en este caso.

(c) Hay una (no trivial) de papel por Milnor donde se analiza el caso de grupos finitos actuar libremente en $S^n$. En este caso, la respuesta a la pregunta es de nuevo positivo.

(d) Si $G$ es un compacto de Lie del grupo de dimensión positiva y $t\in G$ es una involución, a continuación,$C_G(t)\ne \<t\>$. Por lo tanto, la cuestión es sólo claro para grupos finitos $G$.

Su pregunta requeriría un trivial análisis de involuciones en no linearizable compacto subgrupos de $Diff(S^n)$ que es mucho más difícil que encontrar métricas en $S^n$ discreto grupo de simetría (ver punto 1).

Si realmente se preocupan por el problema, un lugar para comenzar es el libro

[1] López de Medrano, "Involuciones en Colectores",

que es principalmente acerca de punto fijo libre de involuciones que actúan en las esferas.