Preguntas del examen de calificación de la teoría de las medidas

Question

La siguiente pregunta es una pregunta de examen de calificación, aunque no veo la relación entre ambas partes.

(a)Que $(X, \mathcal F, \mu)$ sea un espacio de medidas con $\mu(X)=1$ y supongamos $F_1 , F_2, ...F_7$ son 7 conjuntos medibles con $\mu(F_j) \geq 1/2$ . Demuestre que existen índices $i_1<i_2<i_3<i_4$ para lo cual $F_{i_{1}} \cap F_{i_{2}} \cap F_{i_{3}} \cap F_{i_{4}} \neq \varnothing $ .

Pensamientos: Parece que este es obvio sólo supongo que es conjunto vacío entonces puedo obtener una contradicción ya que la medida del conjunto es 1. No estoy seguro de si es la pista correcta.

(b) Que $m$ denotan la medida de Lebesgue en $[0,1]$ y que $f_n \in L^1 (m)$ sea no negativo y medible con $\int_{[0,1/n]} f_n dm \geq 1/2$ para todos $n \geq 1$ . Demostrar que $\int_{[0,1/n]} [\sup_{n} f_n] m(dx)=\infty$ .

Pensamientos: Para este, primero asumo que la integral del sup es un número finito $M$ que no es infinito, entonces puedo obtener la integral del sup va a cero, en lugar de $\geq 1/2$ . Yo tampoco estoy seguro de esta idea.

Se agradecerá cualquier comentario.

Editar: Gracias, chicos. Para (a), me pregunto si tres conjuntos también satisfacen el mismo resultado. No veo por qué siempre hay 4 conjuntos de este tipo.

Answer 1

Para la parte (b), también puedes hacer lo siguiente: Suponga que $g =\sup f_n$ es integrable. Por el teorema de la convergencia dominada, se obtiene $$ \int_{[0,1/n]} g \, dx \to 0, $$ pero tenemos $$ \int_{[0,1/n]} g \, dx \geq \int_{[0,1/n]} f_n \, dx \geq 1/2, $$ una contradicción.

Answer 2

Para la parte (a): $$\int \sum_{j=1}^7\chi_{F_j}\ge 7/2>3.$$ Desde $\mu(X)=1$ debe existir $x$ con $\sum\chi_{F_j}(x)>3$ .