Qué $\bigcup\emptyset$ igual $\bigcup\{\emptyset\}$?

Question

Para cualquier colección de conjuntos de $A = \{A_i\ : i \in I \}$, definir

$$\bigcup A = \bigcup_{i \in I} A_i$$

Pregunta: Es el verdadero?

$$\bigcup \emptyset = \bigcup \{\emptyset \}$$

El lado derecho, utilizando la definición, es simplemente el conjunto vacío. Sin embargo, no estoy seguro de cómo voy a interpretar el lado izquierdo. Supongo que el hecho de que el lado izquierdo es el conjunto vacío de la siguiente manera "vacuously", pero no estoy demasiado seguro.

Puede alguien ayudarme a entender?

Answer 1

La unión de $\bigcup\varnothing$ está vacía vacuously (la unión de ninguna conjuntos).

La unión de $\bigcup\{\varnothing\}$ está vacía, debido a $\bigcup\{x\}=x$, y en este caso $x$ es el conjunto vacío.

Así que sí, son iguales.

Tenga en cuenta que esto no es un rasgo único para el conjunto vacío. Tome $\omega$ por ejemplo, el primer ordinal infinito. $\omega$ tiene la propiedad de $\omega=\bigcup\omega$, por lo que también tiene $\bigcup\omega=\bigcup\{\omega\}$. Lo mismo es cierto para cualquier límite ordinal.

Answer 2

La unión en el lado derecho es el conjunto vacío: si $x$ está en la unión, a continuación,$x\in \emptyset$, una contradicción, por lo tanto no hay elementos en la unión.

La unión en el lado izquierdo, como una unión a través de un vacío colección indizada de conjuntos de $\{A_i\}_{i\in I}$ $I=\emptyset$ es también el conjunto vacío: si $x$ está en la unión, entonces debe haber algún índice$i\in I$$x\in A_i$. Ya que no se como $i$ existe, no hay elementos en la unión.

Answer 3

Recordemos que (por definición, véase, por ejemplo, Wikipedia) $$x\in\bigcup \mathcal S \Leftrightarrow (\exists S\in \mathcal S)x\in S$$ Por lo $\bigcup\emptyset=\emptyset$, ya que por ningún elemento $x$ existe $S\in\emptyset$ cumplimiento $x\in S$. (Simplemente porque no hay $S$$\emptyset$.)

Answer 4

$ \newcommand{\calc}{\begin{align} \quad &} \newcommand{\calcop}[2]{\\ #1 \quad & \quad \text{"#2"} \\ \quad & } \newcommand{\endcalc}{\end{align}} $A ampliar las otras respuestas, aquí es un poco más detallada la prueba de que ambos conjuntos están vacías, pero por diferentes razones.

En el primer set, calculamos sus miembros $\;x\;$ como sigue: $$\calc x \in \bigcup \emptyset \calcop{\equiv}{definición de $\;\bigcup\;$} \langle \existe V : V \en \emptyset : x \V \rangle \calcop{\equiv}{definición de $\;\emptyset\;$} \langle \existe V : \text{false} : x \V \rangle \calcop{\equiv}{lógica: simplificar} \text{false} \endcalc$$

Para el segundo set, podemos calcular de manera similar para todos los $\;x\;$: $$\calc x \in \bigcup \{\emptyset\} \calcop{\equiv}{definición de $\;\bigcup\;$} \langle \existe V : V \in \{\emptyset\} : x \V \rangle \calcop{\equiv}{definición de $\;\{\ldots\}\;$} \langle \existe V : V = \emptyset : x \V \rangle \calcop{\equiv}{lógica: en un punto de la regla} x \in \emptyset \calcop{\equiv}{definición de $\;\emptyset\;$} \text{false} \endcalc$$

Por lo tanto, ambos conjuntos están vacías, y por lo tanto son iguales.