Es la acción transitiva?

Question

Deje $G=GL(n, \mathbb{C})$$M=\{Q \in GL(n, \mathbb{C}) | Q^t = Q \}$. Supongamos $G$ actúa en $M$ a través de la siguiente: $\forall g \in G, \forall m \in M$, $g\cdot m = gmg^t$. Pregunta: Es la acción transitiva o no?

Answer 1

Cada matriz simétrica $Q\in M$ es la matriz de una forma cuadrática de máximo rango de más de $\mathbb{C}^n$. La acción de la $G$ representa el cambio de base de la forma cuadrática representado por $Q$. Cada forma cuadrática tiene bases ortonormales. Por lo tanto la matriz identidad es en cada órbita, así que sí, la acción es transitiva.