Supongamos que la función f(x)

Question

Supongamos que una función $f(x)$ definido en $[0,1]$ satisface $f(1/n)\to 0$ $n\to\infty$ . Podemos decir que el $f(x)\to 0$ $x\to 0^+$ si $f$ es continua en a $[0,1]$ ? y de nuevo

es cierto $f(x)\to 0$ $x\to 0^+$ si $f$ es diferenciable en a $(0,1)$ ?

Puedo ver que esto es cierto para algunos problemas cuando se utiliza Arce para trazar, pero tengo que probar/refutar eso. Si alguien puede probar esto para mí.

Muchas gracias.

Answer 1

Como se señaló en los comentarios, la continuidad es suficiente. Nos permite pasar el límite interior de la función:

$$0=\lim_{n\to\infty}f\left(\frac{1}{n}\right)=f\left(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\right)=f(0)$$

De ello se desprende que $f(0)=0$, y desde $f$ es continua en a $[0,1]$, sabemos que $\lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0)=0$.

Observe que el dominio de incluir $0$ es una condición necesaria. Considere la función $f(x)=\sin(\frac{\pi}{x})$, que es continua y diferenciable en a $(0,1)$, satisface $f(\frac{1}{n})=0$ todos los $n$, pero no tiene la extensión continua a $[0,1]$.