Una función continua $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ continuo con $f(0) = f(1)$

Question

Me encontré con esta pregunta en Stephen Abbott "la Comprensión de los Análisis de la" 2ª edición.

Deje $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ se continua con $f(0) = f(1)$.

a) Mostrar que no debe existir $x,y \in [0,1]$ satisfacción $|x-y| = 1/2$$f(x)=f(y)$.

b) Mostrar que para cada una de las $n \in \mathbb{N}$ existe $x_n , y_n \in [0,1]$$|x_n-y_n|=1/n$$f(x_n)=f(y_n)$.

Para la parte a), pensé que me gustaría empezar por dividir el intervalo de $[0,1]$ en dos mitades y afirmar que si $f(1/2)=c\neq 0$, entonces debe haber algo de $x \in [0, 1/2]$ $y \in [1/2,1]$ tal que $f(x)=f(y)$ (por el Teorema del Valor Intermedio), pero que no me llevan a ninguna parte.

Answer 1

Desde $f(0)=f(1)$, podemos extender $f$ continuamente a todos los de $\mathbb{R}$ por periodicidad, decir a $F:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$.

Ahora, para cualquier $n\in\mathbb{N}$, considere la posibilidad de $F_n:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ dada por

$$F_n(x)=F(x)-F\left(x+\frac1n\right)$$

Si $F_n(0)=0$, podemos tomar $x_n=0$$y_n=\frac1n$.
De lo contrario, supongamos, sin pérdida de generalidad que $F_n(0)>0$.

Reclamo: $F_n$ puede no ser positivo en todo $\left[0,1-\frac{1}n\right]$.

Prueba: de Hecho, si ese fuera el caso tendríamos

$$0< \sum_{i=0}^{n-1}F_n\left(\frac{i}n\right) =\sum_{i=0}^{n-1}F\left(\frac{i}n\right)-F\left(\frac{i+1}n\right) =F(0)-F(1)=0,$$

lo cual es una contradicción. $\square$

Desde $F_n$ es continua, la demanda (junto con el Teorema del Valor Intermedio implica que se $F_n$ debe alcanzar el valor de $0$ en algún punto en $\left[0,1-\frac1n\right]$, decir $x$. Basta para comprobar que la configuración de $x_n=x$ $y_n=x_n+\frac1n$ hace el truco.