¿Por qué necesitamos de un número finito de medida de tener este teorema?

Question

Aquí está el theoerem 6.2.4 dado en "Ross Leadbetter -Un curso básico de medida y probabilidad"

Deje $(X,\mathfrak{M},\mu)$ ser finito medir el espacio.

Deje $f_n,f$ ser medibles (real) de las funciones de $X$.

Entonces, $f_n\to f$ $\mu$-una.e. iff $\mu(\limsup_n \{x:|f_n(x)-f(x)|\geq \epsilon\})=0$ por cada $\epsilon>0$.

Esto parece obviamente cierto arbitrarias de medida de espacio. Sin embargo, el autor destaca que esta thereom tiene para un número finito de medir el espacio.. ¿por Qué necesitamos una finitud de la condición aquí? Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Creo que el uso de la palabra "obviamente" no está garantizado, pero tienes razón, la equivalencia de si tiene o no $\mu$ es finito.

Si definimos

$$N = \bigl\{ x : \bigl(f_n(x)\bigr) \text{ does not converge to } f(x)\bigr\}$$

y

$$M(\epsilon) = \bigl\{ x : \lvert f_n(x) - f(x)\rvert \geqslant \epsilon \text{ for infinitely many } n\bigr\}\,,$$

a continuación, tenga en cuenta que $\epsilon_1 \leqslant \epsilon_2 \implies M(\epsilon_2) \subset M(\epsilon_1)$ implica

$$N = \bigcup_{\epsilon > 0} M(\epsilon) = \bigcup_{k = 0}^{\infty} M(2^{-k})\,,$$

está claro que la equivalencia

$$\mu(N) = 0 \iff \mu\bigl(M(\epsilon)\bigr) = 0 \text{ for all } \epsilon > 0$$

sostiene.