Encontrar un paseo aleatorio simétrico en $\mathbb{Z}$ que es transitoria.

Question

Quería saber si es posible encontrar un paseo aleatorio simétrico en $Z$ que no es recurrente. Sea $X$ tienen la siguiente distribución, con una probabilidad $1/2^{i+1}$ , $X=\pm b_i$ .

Dejemos que $$S_n=\sum_{k=1}^n X_k$$ sea el paseo aleatorio sobre $\mathbb{Z}$ con $X_k$ con la misma distribución que $X$ . El problema es encontrar $b_n$ tal que $S_n$ es transitoria.

Tenemos que encontrar $b_n$ lo suficientemente grande como para que $E(X)$ no está definida (si no, sería 0 por simetría y, por tanto, recurrente). Creo que $b_n=2^n$ es suficiente, pero tengo problemas para mostrar la transitoriedad.

Sabemos que un paseo aleatorio es transitorio si $$\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{1-\varphi_X(t)}dt<\infty$$

He calculado la función característica de $X$ de la siguiente manera:

$$\varphi_X(t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n+1}}e^{it2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}e^{it2^{-n}}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(t2^n)}{2^n}$$

Pero no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

1. $\varphi_X(t)$ es periódica (con periodo $\pi/2$ ). Así, podemos considerar una pequeña vecindad alrededor de cero, digamos $(-\delta,\delta)$

2. Como mencioné en los comentarios $b_n=2^n$ no es suficiente para conseguir la transitoriedad. Por lo tanto, dejemos que $b_n=4^n$

3. Para $t\in(-\delta,\delta)$ y alguna constante $c$

$$1-\varphi_X(t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1-\cos(t4^n)}{2^n}\ge c\sqrt{|t|}$$

4. Finalmente,

$$\int_{-\delta}^\delta \frac{1}{1-\varphi_X(t)}dt\le \int_{-\delta}^\delta \frac{1}{c\sqrt{|t|}}dt<\infty$$

Por lo tanto, el paseo aleatorio es transitorio.