Cómo demostrar a $3^\pi>\pi^3$ usando álgebra o geometría?

Question

Es una pregunta de hace algún tiempo de la prueba, He encontrado una manera de resolver el problema utilizando el cálculo, pero siempre he pensado que existe una solución con el álgebra y la geometría.

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Sugerencia: $$ \frac{\log(x)}x $$ es monótonamente decreciente para $x\gt e$.

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Enfoque de Pre-cálculo

Vamos a utilizar el hecho de que $e^h\ge1+h$$h\ge0$.

Si $x\ge1$$h\ge0$, luego $$ \begin{align} \frac{x+h}{e^{x+h}}-\frac{x}{e^x} &=\frac{x+h-xe^h}{e^{x+h}}\\ &=\frac{\overbrace{\vphantom{\left(e^h\right)}\ \ \ \ x\ \ \ \ }^{\ge1}\overbrace{\left(1+h-e^h\right)}^{\le0}+\overbrace{\vphantom{\left(e^h\right)}(1-x)}^{\le0}\overbrace{\vphantom{\left(e^h\right)}\ \ \ \ h\ \ \ \ }^{\ge0}}{e^{x+h}}\\\\ &\le0 \end{align} $$ Por lo tanto, $\frac x{e^x}$ es monótonamente decreciente para $x\ge1$. Desde $\log(x)$ es monótonamente creciente, sustituyendo $x\mapsto\log(x)$ dice que $\frac{\log(x)}x$ es monótonamente decreciente para $x\ge e$.

Answer 2

Advertencia: no es bonita.

Desde $3^{47}\times 7^{45} \approx 2.85\times 10^{60}$$22^{45}\approx 2.56\times 10^{60}$, se deduce que el $3^{47}\times 7^{45} > 22^{45}$, y por lo tanto $$ 3^{\frac{47}{15}} > \left(\frac{22}{7}\right)^{\frac{45}{15}} = \left(\frac{22}{7}\right)^3. $$ Desde $\frac{47}{15}<\pi<\frac{22}{7}$, el resultado de la siguiente manera.

EDIT: UN poco menos bashy manera de obtener el resultado $3^{47}\times 7^{45} > 22^{45}$:

Nota las desigualdades \begin{matrix} 17010 > 16384 &\implies& 3^5\times7\times10 &>& 2^{14} \\ 4000 > 3993 &\implies& 2^2\times10^3 &>& 3\times11^3 \\ 2401 > 2400 &\implies& 7^4 &>& 2^3\times3\times10^2 \\ 243 > 242 &\implies& 3^5 &>& 2\times11^2 \end{de la matriz} La recaudación del primer desigualdad en la 1ª potencia, el segundo a las 7, el tercero a las 11 de la cuarta a la 12, y de la multiplicación, tenemos $$ 2^{14}\times 3^{65}\times 7^{45}\times 10^{22} > 2^{59}\times 3^{18}\times 10^{22}\times 11^{45}$$ que se simplifica a $3^{47}\times 7^{45} > 22^{45}$.

Answer 3

Ahora que usted desea $$3^{\pi}>\pi^3$$ Tomando logaritmo, es suficiente para mostrar $$\frac{\ln3}{3}>\frac{\ln\pi}{\pi}$$ De nuevo es suficiente para mostrar que $$f(x)=\ln x/x$$ es estrictamente decreciente, al menos, al $x\ge3$.

Desde un punto de vista geométrico, $\ln x/x$ es igual a la pendiente de la $k(x)$ de la línea que une el origen y el punto de $(x,\ln x)$ ubicado en la curva de $y=\ln(x)$. Ahora, a partir de la gráfica es obvio que $k(x)$ asume máximo en algunos $x_0$ cuando la línea es tangente a la curva, y $k(x)$ es estrictamente decreciente cuando se $x>x_0$ (estrictamente hablando es debido a la concavidad de la función logaritmo). Por lo tanto todo lo que tienes que hacer es encontrar la $x_0$ (¿cómo? Pues bien, tratar de darle un tiro!) y te darás cuenta de que $x_0=e<3$, así que...

EDIT @robjohn señaló que encontrar el valor exacto de $x_0$ requiere cálculo, así que estoy "de-calculizing" esta parte:

Bueno, usted no tiene que encontrar el valor exacto, simplemente asegurarse de que $x_0\le3$ es suficiente. Por lo tanto, si usted tiene una calculadora a la mano, comprobando los siguientes $$\ln2.8/2.8>\ln2.9/2.9$$ Usted puede veredicto que $x_0\le 2.9$. Si no, $f(x)$ debe ser estrictamente creciente al $x<2.9$ y, por tanto, contradicción. (Sin embargo, este truco es un poco empírica confieso).

NOTA Aunque parece ser una de calculized contestar ahora, es, estrictamente hablando, aún implícitamente, basados en el cálculo - sin cálculo, no vamos a tener incluso la noción de la concavidad de una gráfica, o la intuición geométrica que $k(x)$ hits max en la tangente de la posición. Así que si usted está realmente en busca de, literalmente, no-cálculo de respuesta, @robjohn seguro de que tiene el mejor.

Answer 4

Sugerencia: $$\pi >3\log _{ 3 }{ \pi } \\ \log _{ 3 }{ \pi } >1\\ \pi >3\log _{ 3 }{ \pi } >3$$

Answer 5

He aquí una prueba de uso de las desigualdades $3.14\lt\pi\lt3.1416$.

Empezamos con algunos aparentemente aleatoria de observaciones:

$$0.0475\times21=0.95+0.0475=0.9975\lt1\implies0.0475\lt{1\over21}\implies1.0475\lt{22\over21}$$

$$1.0475\lt{22\over21}\implies(1.0475)^2\lt{484\over441}=1+{43\over441}\lt1.1$$

(Alternativamente, usted puede simplemente calcular $(1.0475)^2=1.0972562\lt1.1$, pero estoy tratando de pegarse a la aritmética que se puede comprobar fácilmente por los ojos.)

$$1.1^2=1.21\lt1.25={5\over4}$$ $$1.1^3=1.331\lt1.333\ldots={4\over3}$$

Poniendo todo esto junto, tenemos

$$(1.0475)^{22}\lt(1.1)^{11}=(1.1)^{2+3+3+3}\lt{5\over4}\left(4\over3\right)^3={80\over27}\lt3$$

Ahora estamos llegando a alguna parte:

$${\pi\over3}\lt{3.1416\over3}=1.0472\lt1.0475\implies\left(\pi\over3\right)^{22}\lt3$$

Esto a su vez implica

$$\left(\pi\over3\right)^{150}\lt\left(\pi\over3\right)^{154}=\left(\pi\over3\right)^{22\cdot7}\lt3^7$$ por lo tanto $$\left(\pi\over3\right)^{3}\lt3^{7/50}=3^{0.14}$$ y así

$$\pi^3\lt3^3\cdot3^{0.14}=3^{3.14}\lt3^\pi$$

como se desee.

Huelga decir que, el ensayo y error de la salchicha de decisiones ha sido barridos debajo de la alfombra; la presentación aquí bastante desenrolla el proceso de pensamiento que entró en ella. Además, no hay justificación está dada por las desigualdades $3.14\lt\pi\lt3.1416$. Una adecuada prueba de realmente empezar de cero.