Funciones continuas que son discontinuas en cada punto por separado

Question

¿Cuáles son algunos buenos ejemplos de funciones continuas por separado $f: X \times Y \rightarrow Z$ que son discontinuas en cada punto?

Aquí hay un teorema para descartar algunos espacios: enlace de referencia

Teorema: Sea $X$ localmente compacto o completamente metrizable, $Y$ compacto Hausdorff, $Z$ un espacio métrico. Si $f: X \times Y \rightarrow Z$ es continuo por separado, entonces existe un subconjunto $A$ denso $G_\delta$ de $X$ tal que $f$ es continuo en $A \times Y.

Así que no existe ningún ejemplo para $X$, $Y$ y $Z$ que cumplan con las suposiciones del teorema.

Answer 1

Respondiendo para que no quede sin respuesta. En los comentarios, Alex Ravsky sugirió el siguiente ejemplo que era justo lo que necesitaba.

Consideremos un grupo infinito $G$ equipado con la topología cofinita. Entonces, la función de multiplicación $G \times G \rightarrow G$ definida por $(x,y) \mapsto xy$ es continuo por separado en todas partes, pero no es continuo en conjunto en ningún punto.