Hipotenusa en un triángulo rectángulo

Question

En un triángulo rectángulo, el lado $a = 3$ y la resta los lados $b - c =\sqrt{3}$ ¿Cuál es el valor de la hipotenusa?

¿Puede alguien ayudarme? Necesito entender cómo llegar a la respuesta.

Answer 1

Los lados son $3, c, c+\sqrt{3}$ . Ahora considera los posibles pares pitagóricos.

O bien $3$ puede ser la hipotenusa, o $c+\sqrt{3}$

1. Usando 3 como hipotenusa, obtenemos: $$9 = 2c^2 + 2c\sqrt{3} +3\\ c^2 + c\sqrt{3} -3=0\\ c = \frac{\sqrt 3}{2}$$

2. Utilizando $c+\sqrt{3}$ como hipotenusa, tienes: $$c^2 + 2c\sqrt 3+3=c^2+9 \\ c = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Answer 2

$c$ no puede ser la hipotenusa.

Dejemos que $a$ sea la hipotenusa.

Así, $$c^2+(c+\sqrt3)^2=3^2,$$ que da $c=\frac{\sqrt3}{2}$ que es posible.

Dejemos que $b$ sea la hipotenusa.

Así, $$(c+\sqrt3)^2=3^2+c^2,$$ que da $c=\sqrt3$ y $b=2\sqrt3$ y es posible de nuevo.

Answer 3

Sugerencia: si $b$ es la hipotenusa entonces $(b+c)(b-c)=b^2-c^2=9$ . Entonces, ¿qué es $b+c$ ?

Answer 4

Como afirmamos $a,b,c>0$ : Sabemos que $b=\sqrt{3}+c>c$ por lo que sabemos que $c$ no puede ser la hipotenusa (= lado largo).

Sólo quedan dos posibilidades. $b$ es la hipotenusa o $a$ es la hipotenusa.

A) $a^2+c^2=b^2=(c+\sqrt{3})^2 \implies 9 +c^2=c^2+2\sqrt 3c + 3 \implies c = \frac{6}{2\sqrt{3}}$

B) $c^2+(c+\sqrt{3})^2=a^2 \implies c^2+c^2+2\sqrt 3 c+3=9 \implies 2c^2+2\sqrt 3 c-6=0$

Desde $2c^2+2\sqrt 3 c-6=0 \implies c^2+\sqrt 3 c-3=0 \implies c_{1,2}=\frac{-\sqrt{3}\pm\sqrt{3-4(-3)}}{2}$

Answer 5

Desde $b=c+\sqrt{3}$ no puede ser la hipotenusa. Así que tenemos dos posibilidades:

$$ c^2+a^2=b^2 \iff c^2+9=(c+\sqrt{3})^2 $$ o $$ c^2+b^2=a^2 \iff c^2+(c+\sqrt{3})^2 = 9 $$

resolver para $c$ y en el primer caso $b$ es la hipotenusa, en la segunda es $a$ .