Real Análisis de la desigualdad de triángulo problemas

Question

$$x,y \epsilon R,\frac{|x+y|}{1+|x+y|}\le\frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|}$$ I have to prove this inequality.I used the triangle inequality once and have this step. $$\frac{|x+y|}{1+|x+y|}\le\frac{|x|+|y|}{1+|x+y|}$$ Ahora, ¿cómo puedo probar que el resto? No tengo idea de cómo utilizar el triángulo de la desigualdad para el resto de la prueba.

Answer 1

Nota: $f(t): t \mapsto \frac{t}{1+t}$ es el aumento de $t> 0$, y dado lo $|x+y| \leqslant |x|+|y|$,

$$\frac{|x+y|}{1+|x+y|} \leqslant \frac{|x|+|y|}{1+|x|+|y|}= \frac{|x|}{1+|x|+|y|}+\frac{|y|}{1+|x|+|y|} \leqslant \frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|} $$

La igualdad es posible cuando se $xy=0$.

Answer 2

Obviamente, $\frac{|x|+ |y|}{1+ |x+ y|}= \frac{|x|}{1+ |x+ y|}+ \frac{|y|}{1+ |x+ y|}$. Ahora, ¿qué se puede decir acerca de los tamaños relativos de 1+ |x+ y| 1+ |x| 1+ |y|?