Pregunta: es bien sabido que si $\varphi:M\to \tilde{M}$ es una isometría entre los colectores de Riemann, a continuación, $\varphi$ mapas geodesics de $M$ a geodesics de $\tilde{M}$. Me pregunto si es suficiente con que $\varphi$ es sólo un local de isometría.
Para probar el caso de global isometrías, uno primero probar que si $\gamma$ es una curva suave en $M$ $V$ es un campo vectorial a lo largo de $\gamma$ (denotado $V\in\mathscr{T}(\gamma)$), luego $$\varphi_\ast D_tV=\tilde{D}_t(\varphi_\ast V),$$ donde $D_t$ $\tilde{D}_t$ son covariantes derivados de $\gamma$$\varphi\circ\gamma$, respectivamente. ¿Esta fórmula también se aplica para los locales isometrías?
Me las arreglé para reducir el problema a la siguiente resultado (creo), pero no estoy seguro de cómo demostrarlo.
Deje $\gamma:I\to M$ ser una curva, $U\subseteq M$ y un conjunto abierto, y $J\subseteq I$ un subinterval tal que $\gamma(J)\subseteq U$. Deje $\bar{\gamma}=\gamma|_J$. A continuación, $\bar{\gamma}$ es una curva en el abierto submanifold $U$, por lo que tiene una derivada covariante $\bar{D}_t$$U$. Ahora, quiero mostrar que si $V$ es un campo vectorial a lo largo de $\gamma$, e $\bar{V}:J\to TU$ su restricción como un campo vectorial a lo largo de $\bar{\gamma}$$U$, luego $$\iota_\ast(\bar{D}_t\bar{V}(t))=D_tV(t),\quad\forall t\in J,$$ donde $\iota:U\to M$ es la inclusión. ¿Cómo puedo demostrarlo?
Si lo anterior es cierto, entonces tenemos la siguiente prueba.
Deje $\gamma:I\to M$ ser una geodésica, y deje $\tilde{\gamma}=\varphi\circ\gamma$. Queremos mostrar que $\tilde{D}_t\dot{\tilde{\gamma}}(t_0)=0$ todos los $t_0\in I$. Fix $t_0\in I$ y deje $U\subseteq M$ ser un barrio de $\gamma(t_0)$ tal que $\varphi$ restringe a una isometría $\bar{\varphi}:U\to \tilde{U}$ donde $\tilde{U}\subseteq\tilde{M}$ está abierto. Ahora, $\gamma^{-1}(U)$ es un conjunto abierto que contiene a $t_0$, así que vamos a $J\subseteq I$ ser su componente conectado contengan $t_0$. Entonces tenemos una curva de $\bar{\gamma}:J\to U$$U$. Ahora, tenga en cuenta que $$\bar{\dot{\tilde{\gamma}}}=\overline{\varphi_\ast\dot{\gamma}}=\bar{\varphi}_\ast\dot{\bar{\gamma}},$$ por el resultado anterior $$ \begin{align} \tilde{D}_t\dot{\tilde{\gamma}}(t_0) &= \iota_\ast(\bar{\tilde{D}}_t(\bar{\varphi}_\ast\dot{\bar{\gamma}})(t_0)) \\ &= \iota_\ast\bar{\varphi}_\ast\bar{D}_t\dot{\bar{\gamma}}(t_0)\\ &=0 \end{align} $$ desde $$ \iota_\ast\bar{D}_t\dot{\bar{\gamma}}(t_0)=D_t\dot{\gamma}(t_0)=0, $$ y $\iota_\ast$ es inyectiva.
