Si prácticamente nilpotent grupo $G$ ha isomorfo profinite finalización con otro grupo de $H$, es decir,$\hat G \cong \hat H$, no se sigue que la $H$ es prácticamente nilpotent?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
kylesethgray
Puntos
33
El siguiente es cierto: Si $G$ es un finitely generado prácticamente nilpotent grupo y $H$ es un residual grupo finito tal que $G$ $H$ han isomorfo profinite finalización, a continuación, $H$ es prácticamente nilpotent.
De hecho, desde el $G$ es residual finito (prácticamente nilpotent+finitely generado implica residual finito), a continuación, $G$ puede ser visto como una densa subgrupo de $\widehat{G}$. Si $N$ es un subgrupo normal de $G$ de índice finito que es nilpotent entonces se puede demostrar que el cierre de la $\overline{N}$ $N$ $\widehat{G}$ es su profinite de finalización de la cual también es normal nilpotent subgrupo de $\widehat{G}$ de índice finito. No recuerdo los detalles de la prueba del hecho de que $\overline{N}$ es nilpotent. En su lugar, podemos optar $N$ a ser de torsión libre (fácil excersise) y, a continuación, la parte superior central de la serie de $\overline{N}$ es solo el cierre de la parte superior central de la serie de $N$.
Luego hemos probado que la $\widehat{G}$ es prácticamente nilpotent. Ahora si $H$ es residual finito, a continuación, $H$ puede ser visto como una densa subgrupo de $\widehat{H}\cong\widehat{G}$. A continuación, $H$ es prácticamente nilpotent porque es isomorfo a un subgrupo de un prácticamente nilpotent grupo.
