Saltos dobles de un Proceso de Poisson

Question

Si $N_t$ ser un Proceso de Poisson con tasa de $\lambda>0$, seguramente por cualquier prescrito $t>0$, la probabilidad de que $N_t$ "salta (al menos) dos veces" a $t$ es cero, es decir, $\lim_{\epsilon\rightarrow0}P\{N_t-N_{t-\epsilon}\geq 2\}=0$ (esto es incluso una manera apropiada para el estado lo que quiero decir?)

Ahora mi intuición me dice que la probabilidad de que $N_t$ "salta dos veces" en cualquier punto en el tiempo todavía debe ser cero, pero es evidente que usted no puede reclamar este por la "integración" de cero a más de $t\in\mathbb{R}$ - que sería como decir que un uniforme variable $X$ $[0,1]$ tiene probabilidad cero de ser cualquier punto de $t\in[0,1]$, y por lo $X$ tiene una probabilidad cero de ser en $[0,1]$. Habría que decir, la probabilidad de $X$ estar en un pequeño intervalo de longitud de $dx$$1\cdot dx$, y la integral de que más de la $[0,1]$$1$.

También me doy cuenta de que la probabilidad de que $N_t$ "saltos al menos una vez" en algún momento en el tiempo debe ser uno, ya que equivale a la probabilidad de $\lim_{t\rightarrow\infty}1-P\{N_t=0\} =1- e^{-\lambda t} = 1$. Pero de nuevo la probabilidad de $N_t$ saltar en cualquier $t>0$$0$.

El problema, creo yo, es que yo tratando de reclamación se pueden sumar las probabilidades a través de una multitud innumerable, cuando usted realmente tiene que hacer algo como poner una medida en la $t$'s. Puede alguien explicar lo que está pasando con un poco más de rigor que yo en mis mejores esfuerzos han sido capaces de reunir aquí (no debería ser difícil)?

Answer 1

La condición de que $\mathbb P(N_{t+s}\geqslant N_t+2)=p(s)$ $p(s)\ll s$ al $s\to0$ es generalmente incluido en las condiciones de la definición de un proceso de Poisson. Llame a $D_t$ el caso de que un salto de $N$ $t$ tiene un tamaño de más de $1$. A continuación, $D_t$ implica que el $N_{kt/n}\geqslant N_{(k-1)t/n}+2$ algunos $1\leqslant k\leqslant n$, por lo tanto $\mathbb P(D_t)\leqslant np(t/n)$. Desde el lado derecho va a $0$ al $n\to\infty$, esto muestra que $\mathbb P(D_t)=0$. Ya que esto es válido para cada $t$, la probabilidad de que un salto de $N$ tiene un tamaño de más de $1$, nunca, ha probabilidad de $0$.