Una pregunta de probabilidad que involucra $5$ dados

Question

Durante cinco dados que se tiran, estoy luchando para encontrar la probabilidad de un número que muestra exactamente tres veces y un segundo número que muestra dos veces.

Para el número que muestra exactamente tres veces, la probabilidad es: $$ {5 \elegir 3} \times \left ( \frac{1}{6} \right )^{3} \times \left ( \frac{5}{6}\right )^{2} $$

Sin embargo, entiendo que no sólo multiplica esto por $$ {5 \elegir 2} \times \left ( \frac{1}{6} \right )^{2} \times \left ( \frac{5}{6}\right )^{3} $$ como esto incluye la probabilidad de escoger la original de dos veces el número que permite la posibilidad de que el mismo número se mostrará $5$ veces. No estoy seguro de qué hacer a continuación, traté de escribir todas las combinaciones manualmente y consiguió $10$ los posibles resultados, así por ejemplo si una fue el valor que se encuentra $3$ veces y $b$ el valor obtenido $2$ veces una solución sería '$aaabb$'. Sin embargo, yo todavía no estoy seguro de qué hacer después de la $10$ diferentes posibilidades y no estoy seguro de cómo me podría incluso llegar al $10$ diferentes combinaciones matemáticamente. Cualquier sugerencias o consejos sobre qué hacer a continuación sería muy apreciada.

Answer 1

Podemos trabajar directamente con las probabilidades, o de lo contrario nos puede contar. La etiqueta de los dados a, B, C, D, E. Grabar el resultado de tirar como un ordenado $5$-tupla de números. Hay $6^5$ tales $5$-tuplas, todos igualmente probables.

Contamos el número de $5$-tuplas que tienen $3$ de un tipo y $2$ de otro, como un Full en el poker.

El número que hemos $3$ puede ser elegido en $\binom{6}{1}$ maneras. (Por supuesto, esto es simplemente $6$.) Para cada forma de elegir el número que se le ha $3$, no se $\binom{5}{1}$ formas de elegir el número que se le ha $2$. Y por cada elección que hemos hecho, las localizaciones de la serie tenemos a $3$ puede ser elegido en $\binom{5}{3}$ maneras. Si deseamos, podemos decir que, a continuación, las localizaciones de la serie tenemos a $2$ puede ser elegido en $\binom{2}{2}$ maneras. Sin embargo, este número es $1$, por lo que puede ser dejado fuera.

Así, el número total de "favorable" de las configuraciones es $\binom{6}{1}\binom{5}{1}\binom{5}{3}$.

Answer 2

SUGERENCIA: creo que esta es al menos tan fácil de hacer recuento de los resultados. Hay $\binom53$ formas de elegir que $3$ dados muestran un número y que $2$ a mostrar otro. Para cada uno de estos arreglos no se $6$ opciones para el número en el $3$ dados y, a continuación, $5$ opciones para el número del otro $2$ dados. Por lo tanto, no se $\binom53\cdot6\cdot5$ el éxito de los resultados. Cuántos igualmente probable que los resultados son posibles?

Answer 3

En primer lugar, supongo que wil salen en el orden aseado, en primer lugar tres en una fila, luego dos en una fila de un número diferente. La probabilidad de que esto ocurra es $$ \frac{1}{6^2}\cdot \frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6} = \frac{5}{6^4} $$ El primer dado puede ser cualquier cosa, pero en los dos tiene que ser igual a la que, por lo que el $\frac{1}{6^2}$ viene de ahí. A continuación, el cuarto de morir tiene que ser diferente, y las probabilidades de que eso ocurra es el $\frac{5}{6}$ por encima, y por último, la última morir tiene que ser el mismo que el de la cuarta.

Ahora, se supone que las tres de la igualdad de los dados salen primero. Hay otras órdenes, de un total de $\binom{5}{3}$. Los multiplicaré, y obtener la respuesta final $$ \binom{5}{3}\frac{5}{6^4} $$

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Usted podría razonar de otra manera. Deje que el evento $A$ "hay exactamente 3 de un número" e $B$ "Hay exactamente 2 de un número". Entonces tenemos que $$ P(a\cap B) = P(a) \cdot P(B|A) = {5 \elegir 3} \cdot \frac{1}{6^3} \cdot\frac{5^2}{6^2} \cdot \frac{1}{5} = \binom{5}{3}\frac{5}{6^4} $$ Donde $P(A)$ usted ya calculado por su cuenta, y $P(B|A)$ es la probabilidad de que exista una pareja exacta, dado que no es exacto triple, que a su vez es la probabilidad de que los dos últimos dados son iguales, y que es $\frac{1}{5}$.