¿Existen ejemplos claros de la no-asociación? bucles tal que para cada elemento a en el bucle existe $a^{-1}$ para que $a*a^{-1}=1=a^{-1}*a$ . Aún más genial sería un bucle conmutativo. Además: ¿existen bucles finitos conmutativos?
Creo que la mayoría de tus preguntas se responden mirando Bucles Moufang .
Un bucle en el que el inverso izquierdo y el derecho coinciden (un bucle con inversos de dos lados) se llama bucle IP. A veces se sustituye un bucle por un isótopo que básicamente revuelve y reetiqueta la tabla de multiplicar (aplica una permutación de filas y columnas, y una permutación del conjunto subyacente). Para los grupos, eso sería básicamente una locura, pero los bucles no se ven terriblemente afectados por tal operación.
Un bucle es un bucle de Moufang si cada isótopo tiene inversos de dos lados.
Los bucles de Moufang no asociativos y conmutativos tienen un orden múltiplo de 81, y existen dos bucles de este tipo no isomorfos. Fueron construidos por M. Hall Jr.
Véase también el Bucle Parker que es un bucle finito de orden $2^{13}$ relacionados con el código binario de Golay, $M_{24}$ (mayor grupo esporádico de Mathieu), la construcción de Conway del grupo Monster, etc.
Hace poco vi un ejemplo de este preimpreso que creo que es bastante bueno. Es un bucle abeliano de orden infinito.
Dejemos que $S$ sea el conjunto formado por $1$ y todos los números primos de impar. Definir una operación $\cdot$ en $S$ donde $a \cdot b$ da el elemento más pequeño de $S$ estrictamente mayor que $\lvert a - b \rvert$ .
Es evidente que esta operación es conmutativa y cerrada. La identidad viene dada por $1$ y cada elemento es su propio inverso.
El bucle Moufang conmutativo de Zassenhaus es un ejemplo de bucle conmutativo de orden $81$ que no es un grupo.
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Sí, ¿conoces algún ejemplo de orden finito o conmutativo?
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Parece que los octoniones unitarios forman un ejemplo finito.
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Puse un montón de información sobre los inversos en los cuasi-grupos en math.stackexchange.com/questions/393453/ La mayor parte está orientada específicamente a no tener una identidad, pero aun así puede resultarte interesante.