La simplificación de la parte real de la función hipergeométrica con parámetros complejos

Question

Estoy buscando una simplificación de la representación de la siguiente función hipergeométrica con parámetros complejos en términos de funciones más básicas y manifiestamente real de los parámetros:

$$\mathcal{I}{\left(z\right)}:=\Re{\left[{_2F_1}{\left(i,1;1+i;-z\right)}\right]}=???\tag{1}$$

donde $0<z<1$.

Esta pregunta se basa en esta respuesta mía, que yo empecé hace casi un año, pero nunca fue capaz de completar. El paso final se requiere la evaluación de la serie

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{r^n}{n^2+1}$$

en el particular valor de $r=-\sqrt[3]{2}+\sqrt{2^{2/3}-1}$. Una forma cerrada valor de a $(1)$ me permitiera completar esa solución.

---

Mi intento:

Mi mejor idea para un primer paso fue encontrar una explícita representación integral. Yo uso la siguiente integral representaciones de la función hipergeométrica de Gauss ${_2F_1}$,

$${_2F_1}{\left(a,b;c;z\right)}=\frac{1}{\Gamma{\left(b\right)}}\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{b-1}\,{_1F_1}{\left(a;c;zt\right)}\,\mathrm{d}t;~~~\small{\left[Re{(b)}>0\right]}\tag{2}$$

el Kummer función hipergeométrica confluente ${_1F_1}$,

$${_1F_1}{\left(a;b;z\right)}=\frac{1}{\Gamma{\left(a\right)}}\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{a-1}\,{_0F_1}{\left(;b;zt\right)}\,\mathrm{d}t;~~~\small{\left[\Re{(a)}>0\right]}\tag{3}$$

y la función hipergeométrica confluente ${_0F_1}$,

$${_0F_1}{\left(;b;z\right)}=\frac{\Gamma{\left(b\right)}}{\sqrt{\pi}\,\Gamma{\left(b-\frac12\right)}}\int_{-1}^{1}\frac{\left(1-t^2\right)^{b-\frac32}}{e^{2t\sqrt{z}}}\,\mathrm{d}t;~~~\small{\left[\Re{(b)}>\frac12\right]}.\tag{4}$$

Yo también uso la siguiente relación para Kummer hipergeométrica confluente funciones:

$${_1F_1}{\left(b-a;b;z\right)}=e^{z}\,{_1F_1}{\left(a;b;-z\right)}.\tag{5}$$

Denotar la función de ${_2F_1}{\left(i,1;1+i;-z\right)}$$g{(z)}$. Para $z\in\mathbb{R}^{+}$, tenemos

$$\begin{align} g{\left(z\right)} &={_2F_1}{\left(i,1;1+i;-z\right)}\\ &=\int_{0}^{\infty}e^{-y}\,{_1F_1}{\left(i;1+i;-zy\right)}\,\mathrm{d}y\\ &=\int_{0}^{\infty}e^{-y}e^{-zy}\,{_1F_1}{\left(1;1+i;zy\right)}\,\mathrm{d}y\\ &=\int_{0}^{\infty}e^{-\left(1+z\right)y}\,{_1F_1}{\left(1;1+i;zy\right)}\,\mathrm{d}y\\ &=\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}y\,e^{-\left(1+z\right)y}\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}x\,e^{-x}\,{_0F_1}{\left(;1+i;zyx\right)}\\ &=\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}y\,e^{-\left(1+z\right)y}\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}x\,e^{-x}\frac{\Gamma{\left(1+i\right)}}{\sqrt{\pi}\,\Gamma{\left(\frac12+i\right)}}\int_{-1}^{1}\mathrm{d}w\,\frac{\left(1-w^2\right)^{-\frac12+i}}{e^{2w\sqrt{zyx}}}\\ &=\frac{\Gamma{\left(1+i\right)}}{\sqrt{\pi}\,\Gamma{\left(\frac12+i\right)}}\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}y\,e^{-\left(1+z\right)y}\int_{0}^{\infty}\mathrm{d}x\,e^{-x}\int_{-1}^{1}\mathrm{d}w\,\frac{e^{i\ln{\left(1-w^2\right)}}}{e^{2w\sqrt{zyx}}\sqrt{1-w^2}}.\\ \end{align}$$

El interior de la integral es similar a las representaciones de funciones de Bessel, pero no estoy demasiado familiarizado con los. ¿Alguien tiene alguna idea de cómo proceder?

Answer 1

Algunas notas: \begin{align} {}_{2}F_{1}(i, 1; 1+i; x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i)_{n} \, x^{n}}{(1+i)_{n}}. \end{align} Ahora, \begin{align} \frac{(i)_{n}}{(1+i)_{n}} = \frac{\Gamma(i+1) \, \Gamma(n+i)}{\Gamma(i) \, \Gamma(n+i+1)} = \frac{i}{n+i} = \frac{1}{1-i n} = \frac{1+i n}{n^{2}+1} \end{align} lo que conduce a \begin{align} {}_{2}F_{1}(i, 1; 1+i; x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1 + in) \, x^{n}}{n^{2} + 1} \end{align} y, $S(x)$ es la parte real de \begin{align}\tag{1} S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}+1}. \end{align} Puede ser rápidamente determinó que $S(x)$ satisface la ecuación diferencial \begin{align} x^{2} S'' + x S' + S = \frac{1}{1-x} \end{align} con las condiciones de $S(0) =1$$S'(0) = 0$. La solución de los cuales es de la forma \begin{align} S(x) = A \cos(\ln x) + B \sin(\ln x) + f(x). \end{align} La ecuación diferencial que parece conducir a más problemas. Otra forma puede ser obtenida y está dada por \begin{align} S(x) = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin t \, dt}{1 - x e^{-t}}. \end{align} Es evidente que las complicaciones surgen cuando los $x=0$.