Principio del palomar en dos colores círculo

Question

Supongamos que un círculo se divide en 200 congruentes sectores, con 100 de ellos de color rojo y la otra de 100 azul. Un pequeño círculo concéntrico se coloca en el círculo más grande y también muy divididas y colores. Demostrar que no importa el 100 rojo sectores son los elegidos para cada círculo, el círculo más pequeño se puede girar para que al menos 100 de los sectores de los dos círculos que coincida en color.

Answer 1

Considerar todos los $200$ rotaciones del círculo más pequeño. A través de todos estos, cada sector coincide exactamente $100,$, de modo que el número total de coincidencias es $20,000.$ Pero, a continuación, una de las rotaciones deben coincidir, al menos, $100$ sectores.

Answer 2

Contar de dos maneras el número de pares de $(S,T)$ donde $S$ es un sector de un círculo más grande, $T$ es el sector de el círculo más pequeño y $\operatorname{colour}(S) = \operatorname{colour}(T)$. Directamente, no se $$ \underbrace{100 \times 100}_{\operatorname{colour}(S) = \operatorname{colour}(T) =\text{ red}} + \underbrace{100 \times 100}_{\operatorname{colour}(S) = \operatorname{colour}(T) = \text{ blue }} = 20000$$ tales pares. Indirectamente, vamos a $r_1,\ldots,r_{200}$ denotar el número de adyacentes de la igualdad de colores entre el grande y el pequeño círculo cuando el círculo interno ha sido girado por $360 \times \frac{i}{200}$ grados. Ya que cada par de $(S,T)$ se convierte adyacentes para, precisamente, uno de girar el círculo interior, tenemos $$ 20000 = \sum_{i=1}^{200} r_i$$ o $$ \operatorname{average}\{r_1,\ldots,r_{200}) = \frac{1}{200} \sum_{i=1}^{200} r_i= 100.$$

Dado que el promedio de la $r_i$$100$, en menos de un particular, $r_i$ debe $100$ o mayor.