Unitario de representaciones de la diffeomorphism grupo en la curva el espacio-tiempo

Question

(Especial) relativista de la mecánica cuántica no existe un estándar argumento que dice que la (manipuladas) el espacio de Hilbert de los estados $H$ debe estar equipado con un proyectiva representación unitaria $U$ del grupo de Poincaré $P$ que dice algo como esto:

Supongamos que tenemos dos observadores $O_1$ $O_2$ $x\in P$ es la transformación de Poincaré que los mapas de $O_1$s sistema de coordenadas en $O_2$s sistema de coordenadas. Entonces, si $O_1$ $O_2$ intento de medir la misma cosa, ellos serán reales encontrar diferentes estados, $\left| \psi _1\right>$$\left| \psi _2\right>$, respectivamente, en $H$ (por ejemplo, si en primer lugar se encuentra el vector de $(1,0,0)$, rotar los ejes por $\pi/2$ y medir el mismo vector, los números que ahora registro va a ser $(0,1,0)$). De hecho, esto nos da un mapa de los estados: $\left| \psi _1\right> \mapsto \left| \psi _2\right>$ (solo va a estar bien definidos fase). Llamamos a este mapa de $U(x)$, por lo que el $\left| \psi _2\right> =U(x)\left| \psi _1\right>$.

Sin embargo, si aceptamos el principio de la relatividad que la física debe ser el mismo en dos marcos de referencia relacionados por una transformación de Poincaré, entonces es mejor que tenga que $$ \left| \left< \phi _1|\psi _1\right> \right| =\left| \left< \phi _2|\psi _2\right> \right| =\left| \left< U(x)\phi _1|U(x)\psi _1\right> \right| $$ para todos (normalizado) $\left| \psi _1\right>$ $\left| \phi _1\right>$ debido a que esto representa una probabilidad (por supuesto, $\left| \psi _2\right> :=U(x)\left| \psi _1\right>$$\left| \phi _2\right> =U(x)\left| \phi _1\right>$).

Wigner del Teorema nos dice que esto le da un proyectiva unitaria representación de $P$$H$. (Nota: estoy permitiendo que algunos elementos de la $P$ a ser representado por antiunitaries.)

Ahora, si usted trata de hacer el mismo argumento que en la curva el espacio-tiempo, te encuentras con el problema obvio que no, en general, tienen un análogo del grupo de Poincaré (creo que existen spacetimes que no poseen campos de muerte); sin embargo, ingenuamente, parece como si el principio general de la covarianza sugiere que debemos 'mejorar' el grupo de isometría del espacio-tiempo a toda la diffeomorphism grupo de el espacio-tiempo en el argumento anterior. (En particular, no veo cómo este argumento es el que hace crucial el hecho de que ambos observa coordinar bases ortonormales.) Que luego, implicaría que el espacio de Hilbert de los estados en una teoría cuántica de la curva el espacio-tiempo debe poseer un proyectiva unitaria representación de la diffeomorphism grupo de que el espacio-tiempo. Esto, sin embargo, a primera vista, parece que sería falso.

Así que, ¿de dónde viene el argumento de romper si se reemplaza el grupo de Poincaré en especial de la relatividad de einstein con la diffeomorphism grupo en la relatividad general? O, es de hecho el caso que nos debe obtener una representación unitaria de la totalidad de la diffeomorphism grupo.

Answer 1

No, usted no quiere que las representaciones de la diffeomorphism grupo por la misma razón que usted no desea que las representaciones de la calibrado Mentira grupo de Yang-Mills. El diffeomorphisms son un indicador de la simetría, no es una verdadera simetría de la teoría. Medidor de transformaciones ley trivialmente sobre los estados físicos, mapa redundantes descripción de un estado a otro. Ellos son redundantes descripciones de la física en los grados de libertad, mientras que una verdadera simetría de la teoría de los mapas de estados físicos a otros estados físicos.

En la no-Abelian de Yang-Mills caso, usted busca a los estados en las representaciones de la global de SU(N) del grupo. Tales transformaciones no son de calibre transformaciones, ya que el medidor de parámetros no tienden a cero en el infinito como indicador de las transformaciones deben. Estas transformaciones globales mapa de un estado físico a un diferente estado físico. La historia es similar en la mayoría de los entendidos gravitacional de los casos. El diffeomorphisms son de calibre transformaciones, pero hay un asintótica grupo de simetría (esencialmente de gran calibre transformaciones), que son los verdaderos simetría de la teoría.

Por ejemplo, en el caso de asintóticamente plana spacetimes, poner algunas condiciones de contorno en la métrica en el infinito. Usted, a continuación, considere la posibilidad de diffeomorphisms que dejar estas condiciones de contorno fijo. Entonces, básicamente, mod por trivial transformaciones que no toque la métrica en el infinito, y obtener el BMS grupo. El BMS grupo es esencialmente un semidirect producto de $SL(2,\mathbb{C})$ con un infinito dimensional grupo de "supertranslations", 4 de los cuales puede ser identificado con el 4 traducciones globales. Estas transformaciones salir de la asymptotics de la métrica fija, pero la ley no trivialmente en el límite de datos y, por tanto, sobre los estados del sistema. Así que usted puede ver que en realidad nos encontramos con una aún mayor grupo de simetría en un no-plano espacio-tiempo.

Procedimientos similares se pueden aplicar a otros spacetimes. Usted no necesita el espacio-tiempo para tener la matanza de los vectores (genérica de un espacio-tiempo no tiene ninguno), sólo falta que el espacio-tiempo para tener algo de lo especificado asintótica formulario y, a continuación, usted puede encontrar un grupo cuyas representaciones de control en el espacio de Hilbert.

Answer 2

La diferencia es que la invariancia de Poincaré es un mundial de simetría, por lo que los actos trivial sobre los estados físicos. Esto ha reales consecuencias físicas; por ejemplo, si se actúa con una traducción al operador sobre el estado de una partícula localizada en el origen, se obtiene el estado de una partícula localizada en una posición distinta de la de origen. Poincaré invariancia te dice que estas dos partículas tienen la misma energía.

Diffeomorphism invariancia, por otro lado, es un local de medidor de simetría en la teoría general de la relatividad. Esto significa que los actos trivialmente en física invariante gauge los estados, y no tienen consecuencias reales. Es una redundancia en la descripción. Por supuesto, podemos obtener una descripción de la misma física que actúe con un medidor de transformación (es decir, ir a un diferentes observadores marco), pero esto no es tan poderoso como un global de simetría, que organiza el espacio de Hilbert en irreps.

Como se mencionó anteriormente, esto no significa que no existe un análogo de Poincaré simetría de las curvas de los fondos. Por ejemplo, el mundial de isometría grupo de Anuncios es el grupo de global de conformación de las transformaciones en una menor dimensión. Este organiza la física de Anuncios en irreps de la conformación del grupo.

Por cierto, usted podría preguntarse qué sucede si se intenta proponer una teoría local de la invariancia de Lorentz. La respuesta que se obtiene es que la relatividad general.