Para una matriz con todos los enteros llamado entradas, cualquier entero autovalor va a dividir el factor determinante.

Question

Tengo que demostrar que para una matriz con todos los valores enteros de las entradas, de cualquier entero autovalor va a dividir el factor determinante.

Sé que el producto de los valores propios es el factor determinante, pero no puede ser integral autovalores. También sé que la suma de los autovalores, que es la traza de la matriz, es también integral.

Cualquier sugerencia será bien. Gracias.

Answer 1

Vamos

$A \in M_n(\Bbb Z) \tag 1$

ser una matriz cuadrada con todo entero entradas. Los autovalores de a $A$, ya sea integral o no, todas satisfacer el polinomio característico de a $A$,

$\chi_A(x) = \det(xI - A); \tag 2$

es fácil ver que

$\chi_A(x) \in \Bbb Z[x], \tag 3$

es decir, que $\chi_A(x)$ tiene todos los coeficientes enteros; es claro que monic, y el término constante de $\chi_A(x)$$(-1)^n \det A \in \Bbb Z$. Si escribimos

$\chi_A(x) = \displaystyle \sum_0^n c_i x^i, \; c_i \in \Bbb Z, \tag 4$

entonces

$c_0 = (-1)^n \det A \tag 5$

como hemos dicho; si $\lambda$ es cualquier autovalor de a $A$ (4) los rendimientos

$\displaystyle \sum_0^n c_i \lambda^i = \chi_A(\lambda) = 0, \tag 6$

que de hecho puede ser el reparto de la

$\lambda \displaystyle \sum_1^n c_i \lambda^{i - 1} = \sum_1^n c_i \lambda^i = (-1)^{n + 1} \det A; \tag 7$

ahora si $\lambda \in \Bbb Z$, también tenemos

$\displaystyle \sum_1^n c_i \lambda^{i - 1} \in \Bbb Z; \tag 8$

esto demuestra que

$\lambda \mid (-1)^{n + 1} \det A, \tag 9$

es decir,

$\lambda \mid \det A. \tag{10}$

Nota Añadida en la Edición, el sábado 28 de abril de 2018, 12:09 PM PST: supongo que un par de palabras acerca de la definición de "divide" podría estar en orden. He tomado la definición, por $a, b \in \Bbb Z$,

$a \mid b \Longleftrightarrow \exists \; c \in \Bbb Z, \; ac = b; \tag{11}$

con esta definición, tenemos $a \mid 0$ por cada $a \in \Bbb Z$, ya que el $a0 = 0$; también tenemos

$0 \mid b \Longrightarrow b = 0, \tag{12}$

desde entonces

$\exists \; a \in \Bbb Z, \; b = a \cdot 0 = 0; \tag{13}$

por supuesto, existe una leve posibilidad de que exista confusión con la definición de "divisores de cero" relevante en ciertos anillos; esta definición, como recuerdo, generalmente declara que $a$ $b$ son divisores de cero siempre

$a \ne 0 \ne b \; \text{and} \; ab = 0; \tag{14}$

es claro que tales $a$ $b$ no existen en $\Bbb Z$, que es una integral de dominio. En el presente respuesta que he usado (11) y sus consecuencias (12) y (13) sin mayor calificación; este enfoque parece ser coherentes en sí, aunque no estoy seguro de cómo otros autores podría solucionar el problema. Final de la Nota.

Answer 2

Deje $p(x) = x^n + c_1 x^{n-1} + \cdots + c_{n-1} x + c_{n}$ ser el polinomio característico de la matriz $M$, lo $c_n = \pm \det M$. Si $M$ tiene todo entero entradas, cada coeficiente de $c_i$ es un número entero. Ahora supongamos que $M$ tiene un número entero autovalor $\lambda$, es decir, un entero tal que $p(\lambda) = 0$.

Subbing $\lambda$ a $p(x)$ y reordenando, obtenemos $$ -c_n = \lambda(\lambda^{n-1} + c_1 \lambda^{n-2} + \cdots + c_{n-1})$$ y por lo que hemos encontrado que $\pm \det M$ puede escribirse como un producto de dos enteros, $\lambda$$(\lambda^{n-1} + c_1 \lambda^{n-2} + \cdots + c_{n-1})$. En particular, $\lambda$ es un factor de $\det M$.