Si $0<f'\left(x\right)<f\left(x\right)$$f\left(0\right)=e$, $f\left(2e\right)<e^{8}$

Question

Sea f continuamente diferenciable en a $[0,+\infty)$. Para cualquier $x>0$ $0<f'\left(x\right)<f\left(x\right)$. También, $f\left(0\right)=e$. Mostrar que $f\left(2e\right)<e^{8}$.

Por favor, que me ayude a resolver esto.

Dado positivo derivado, $f\left(2e\right)>f\left(0\right)=e$. Eso es todo lo que he llegado con.

Answer 1

Considere la posibilidad de $h(x) = f(x) \cdot \exp(-1-x)$. Tenemos $$h'(x)=\exp(-1-x) \cdot (f'(x)-f(x)) < 0$$, por lo tanto

$$1 = h(0) > h(2e) = \frac{f(2e)}{e^{1+2e}}.$$

Así tenemos aún más fuerte $f(2e) < e^{1+2e}$ $1+2e \approx 6.43...$

Answer 2

Sugerencia: Deje $$F(x)=e^{-x}f(x)\Longrightarrow F'(x)=e^{-x}[f'(x)-f(x)]<0$$ así $$F(x)<F(0)=e\Longrightarrow f(x)<e^{x+1}$$

Answer 3

Desde $0<f'<f$ por supuesto, tenemos $$\frac{d}{dx}\log f=\frac{f'}{f}<1$$ lo que implica que $\log f(x)-\log f(0)=\log f(x)-1\leq x$ desde $f(0)=e$, o, equivalentemente, $$\tag{1}f(x)\leq e^{x+1}.$$ Se desprende de lo $(1)$ que $$f(2e)-f(0)=\int_0^{2e}f'(x)dx<\int_0^{2e}f(x)dx\leq \int_0^{2e}e^{x+1}dx=e^{2e+1}-e.$$ Esto implica $$f(2e)<e^{2e+1}-e+f(0)=e^{2e+1}<e^8.$$