Energía potencial electrostática integral en coordenadas esféricas

Question

Estoy teniendo problemas con la evaluación de una integral que surge de intentar encontrar la energía total de un sistema electrostático que consta de dos cargas puntuales, que consiste en una integral sobre todo el espacio. El problema es físico, pero mi punto de discordia es puramente matemático. Hay un poco de esto en la sección de antecedentes si el contexto es necesaria. En coordenadas esféricas, me encontré con la integral:

$$U = \frac{Q_1 Q_2}{8\pi\varepsilon_0}\int_0^\infty \hspace{-5pt}\int_0^{\pi} \frac{r - R\cos(\theta)}{(r^2-2Rr\cos(\theta)+R^2)^{\frac{3}{2}}}\sin(\theta) \space d\theta \space dr$$

Me golpeó un muro de ladrillo y tratando de evaluar la integral - normalmente yo uso una sustitución en el único caso integral, y deje $u = r^2-2Rrcos(\theta)+R^2 $ pero no estoy seguro de cómo hacerlo para una integral doble cuando las variables están todos mezclados. Es esta integral es posible evaluar el uso de técnicas elementales? Si alguien pudiera me apunte en la dirección correcta o determinar que la integral no existe (lo cual podría significar que he cometido un grave error en llegar a la integral), que sería muy apreciada.

Puedo anticipar que la integral debe reducir a la simple forma dada por la fórmula estándar que se utiliza para evaluar la energía de un sistema de cargas puntuales, que es $$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{R}$$ si esto le ayuda.

De fondo

Estoy tratando de calcular la energía total de un sencillo de dos sistema de carga a través de la integral de la energía electrostática de un sistema dado en Griffiths libro:

$$U = \frac{\epsilon_0}{2}\int_V E^2 dV $$

Donde el volumen está integrado a través de todo el espacio de modo que el término no se muestra aquí decae a cero. Creo que este debe producir la misma respuesta como el estándar de la fórmula dada por el punto de cargos:

$$U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{R}$$

Pero estoy teniendo problemas para evaluar la integral de la misma. Coloqué $Q_1$ sobre el origen de los ejes de coordenadas y $Q_2$ $z$- eje una distancia de $R$ lejos de la primera carga, y se amplió la $E^2$ plazo:

$$E = E_1 + E_2 \quad \text{ so } \quad E^2 = E_1^2 + 2E_1 \centerdot E_2 + E_2^2$$

He encontrado que la integral de la auto términos diverge cuando se evalúan, y, después de leer a través de Griffiths, decidió desechar la auto-términos de energía y sólo se conservan la energía debido a que el plazo de cambio.

Dejando $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$$r'= \sqrt{x^2+y^2+(z-R)^2}$, me encontré con la integral de la interacción término:

$$E_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_1}{r^3}\vec{r} \quad \text{ and } \quad E_2 \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_2}{r'^3}\vec{r'}$$

$$U = \epsilon_0\int_V E_1\centerdot E_2 \space dV = \frac{Q_1 Q_2}{16\pi^2\varepsilon_0}\int_V \frac{x^2 + y^2 + z^2-zR}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}} \space (x^2+y^2+(z-R)^2)^{\frac{3}{2}}}\space dV$$

La conversión a coordenadas esféricas, con $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$, $\theta $ el ángulo entre el eje z y $\varphi$ el ángulo azimutal, donde me han evaluado los azimutal integral, puedo obtener la integral en coordenadas esféricas por encima.

Answer 1

Campos eléctricos debidos a$Q_1$ y$Q_2$:

PS

PS

Punto producto de campos eléctricos en coordenadas esféricas:

$$ \begin{align} \vec{E}_1\cdot\vec{E}_2 &=\frac{Q_1Q_2}{16\pi^2\epsilon_0^2}\frac{x^2+y^2+z^2-Rz}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}\left(x^2+y^2+(z-R)^2\right)^{3/2}}\\ &=\frac{Q_1Q_2}{16\pi^2\epsilon_0^2}\frac{r^2-Rr\cos{\theta}}{r^3\left(r^2-2Rr\cos{\theta}+R^2\right)^{3/2}}\\ &=\frac{Q_1Q_2}{16\pi^2\epsilon_0^2}\frac{r-R\cos{\theta}}{r^2\left(r^2-2Rr\cos{\theta}+R^2\right)^{3/2}}.\\ \end {align} $$

Configurando la integral:

$$ \begin{align} U &=\epsilon_0\int_{V}\vec{E}_1\cdot\vec{E}_2\,\mathrm{d}V\\ &=\epsilon_0\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\infty}\vec{E}_1\cdot\vec{E}_2\,r^2\sin{\theta}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\\ &=\epsilon_0\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{Q_1Q_2}{16\pi^2\epsilon_0^2}\frac{r-R\cos{\theta}}{r^2\left(r^2-2Rr\cos{\theta}+R^2\right)^{3/2}}\,r^2\sin{\theta}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\\ &=\frac{Q_1Q_2}{16\pi^2\epsilon_0}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{r-R\cos{\theta}}{\left(r^2-2Rr\cos{\theta}+R^2\right)^{3/2}}\,\sin{\theta}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi\\ &=\frac{Q_1Q_2}{8\pi\epsilon_0}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{r-R\cos{\theta}}{\left(r^2-2Rr\cos{\theta}+R^2\right)^{3/2}}\,\sin{\theta}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\\ \end {align} $$

Sustituyendo$$\vec{E}_1=\frac{Q_1}{4\pi\epsilon_0}\frac{x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}},$ y$$\vec{E}_2=\frac{Q_2}{4\pi\epsilon_0}\frac{x\hat{x}+y\hat{y}+(z-R)\hat{z}}{\left(x^2+y^2+(z-R)^2\right)^{3/2}}.$,

$$ \begin{align} U &=\frac{Q_1Q_2}{8\pi\epsilon_0}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{r-R\cos{\theta}}{\left(r^2-2Rr\cos{\theta}+R^2\right)^{3/2}}\,\sin{\theta}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{Q_1Q_2}{8\pi\epsilon_0}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{Rx-R\cos{\theta}}{\left(R^2x^2-2R^2x\cos{\theta}+R^2\right)^{3/2}}\,\sin{\theta}\,R\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{Q_1Q_2}{8\pi\epsilon_0\,R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{x-\cos{\theta}}{\left(x^2-2x\cos{\theta}+1\right)^{3/2}}\,\sin{\theta}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}\theta\\ &=\frac{Q_1Q_2}{8\pi\epsilon_0\,R}\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\pi}\frac{x-\cos{\theta}}{\left(x^2-2x\cos{\theta}+1\right)^{3/2}}\,\sin{\theta}\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{Q_1Q_2}{8\pi\epsilon_0\,R}\int_{0}^{\infty}\int_{-1}^{1}\frac{x-t}{\left(x^2-2xt+1\right)^{3/2}}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{Q_1Q_2}{8\pi\epsilon_0\,R}\int_{0}^{\infty}\left[\frac{x-1}{x^2\sqrt{x^2-2x+1}}+\frac{x+1}{x^2\sqrt{x^2+2x+1}}\right]\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{Q_1Q_2}{8\pi\epsilon_0\,R}\int_{0}^{\infty}\left[\frac{x-1}{x^2|x-1|}+\frac{x+1}{x^2|x+1|}\right]\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{Q_1Q_2}{8\pi\epsilon_0\,R}\int_{0}^{\infty}\left[\frac{\operatorname{sgn}{(x-1)}}{x^2}+\frac{1}{x^2}\right]\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{Q_1Q_2}{8\pi\epsilon_0\,R}\int_{0}^{1}\left[\frac{-1}{x^2}+\frac{1}{x^2}\right]\,\mathrm{d}x+\frac{Q_1Q_2}{8\pi\epsilon_0\,R}\int_{1}^{\infty}\left[\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}\right]\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{Q_1Q_2}{4\pi\epsilon_0\,R}\int_{1}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^2}\\ &=\frac{Q_1Q_2}{4\pi\epsilon_0\,R}, \end {align} $$

como se esperaba.