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Energía potencial electrostática integral en coordenadas esféricas

Estoy teniendo problemas con la evaluación de una integral que surge de intentar encontrar la energía total de un sistema electrostático que consta de dos cargas puntuales, que consiste en una integral sobre todo el espacio. El problema es físico, pero mi punto de discordia es puramente matemático. Hay un poco de esto en la sección de antecedentes si el contexto es necesaria. En coordenadas esféricas, me encontré con la integral:

U=Q1Q28πε00π0rRcos(θ)(r22Rrcos(θ)+R2)32sin(θ) dθ dr

Me golpeó un muro de ladrillo y tratando de evaluar la integral - normalmente yo uso una sustitución en el único caso integral, y deje u=r22Rrcos(θ)+R2 pero no estoy seguro de cómo hacerlo para una integral doble cuando las variables están todos mezclados. Es esta integral es posible evaluar el uso de técnicas elementales? Si alguien pudiera me apunte en la dirección correcta o determinar que la integral no existe (lo cual podría significar que he cometido un grave error en llegar a la integral), que sería muy apreciada.

Puedo anticipar que la integral debe reducir a la simple forma dada por la fórmula estándar que se utiliza para evaluar la energía de un sistema de cargas puntuales, que es U=14πε0Q1Q2R si esto le ayuda.

De fondo

Estoy tratando de calcular la energía total de un sencillo de dos sistema de carga a través de la integral de la energía electrostática de un sistema dado en Griffiths libro:

U=ϵ02VE2dV

Donde el volumen está integrado a través de todo el espacio de modo que el término no se muestra aquí decae a cero. Creo que este debe producir la misma respuesta como el estándar de la fórmula dada por el punto de cargos:

U=14πε0Q1Q2R

Pero estoy teniendo problemas para evaluar la integral de la misma. Coloqué Q1 sobre el origen de los ejes de coordenadas y Q2 z- eje una distancia de R lejos de la primera carga, y se amplió la E2 plazo:

E=E1+E2 so E2=E21+2E1E2+E22

He encontrado que la integral de la auto términos diverge cuando se evalúan, y, después de leer a través de Griffiths, decidió desechar la auto-términos de energía y sólo se conservan la energía debido a que el plazo de cambio.

Dejando r=x2+y2+z2r=x2+y2+(zR)2, me encontré con la integral de la interacción término:

E1=14πε0Q1r3r and E214πε0Q2r3r

U=ϵ0VE1E2 dV=Q1Q216π2ε0Vx2+y2+z2zR(x2+y2+z2)32 (x2+y2+(zR)2)32 dV

La conversión a coordenadas esféricas, con r=x2+y2+z2, θ el ángulo entre el eje z y φ el ángulo azimutal, donde me han evaluado los azimutal integral, puedo obtener la integral en coordenadas esféricas por encima.

5voto

David H Puntos 16423

Campos eléctricos debidos aQ1 yQ2:

PS

PS

Punto producto de campos eléctricos en coordenadas esféricas:

E1E2=Q1Q216π2ϵ20x2+y2+z2Rz(x2+y2+z2)3/2(x2+y2+(zR)2)3/2=Q1Q216π2ϵ20r2Rrcosθr3(r22Rrcosθ+R2)3/2=Q1Q216π2ϵ20rRcosθr2(r22Rrcosθ+R2)3/2.

Configurando la integral:

U=ϵ0VE1E2dV=ϵ02π0π00E1E2r2sinθdrdθdφ=ϵ02π0π00Q1Q216π2ϵ20rRcosθr2(r22Rrcosθ+R2)3/2r2sinθdrdθdφ=Q1Q216π2ϵ02π0π00rRcosθ(r22Rrcosθ+R2)3/2sinθdrdθdφ=Q1Q28πϵ0π00rRcosθ(r22Rrcosθ+R2)3/2sinθdrdθ

SustituyendoE1=Q14πϵ0xˆx+yˆy+zˆz(x2+y2+z2)3/2,$y\vec{E}_2=\frac{Q_2}{4\pi\epsilon_0}\frac{x\hat{x}+y\hat{y}+(z-R)\hat{z}}{\left(x^2+y^2+(z-R)^2\right)^{3/2}}.$,

U=Q1Q28πϵ0π00rRcosθ(r22Rrcosθ+R2)3/2sinθdrdθ=Q1Q28πϵ0π00RxRcosθ(R2x22R2xcosθ+R2)3/2sinθRdxdθ=Q1Q28πϵ0Rπ00xcosθ(x22xcosθ+1)3/2sinθdxdθ=Q1Q28πϵ0R0π0xcosθ(x22xcosθ+1)3/2sinθdθdx=Q1Q28πϵ0R011xt(x22xt+1)3/2dtdx=Q1Q28πϵ0R0[x1x2x22x+1+x+1x2x2+2x+1]dx=Q1Q28πϵ0R0[x1x2|x1|+x+1x2|x+1|]dx=Q1Q28πϵ0R0[sgn(x1)x2+1x2]dx=Q1Q28πϵ0R10[1x2+1x2]dx+Q1Q28πϵ0R1[1x2+1x2]dx=Q1Q24πϵ0R1dxx2=Q1Q24πϵ0R,

como se esperaba.

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