Ejemplo de$a,~b\in G$ tal que$ab\in H\leq G$ y$a^2b^2\notin H.$

Question

Deje $G$ ser un grupo y $H$ ser un subgrupo de $G$. Vamos también a$a,~b\in G$ tal que $ab\in H$.

Verdadero o falso? $a^2b^2\in H.$

El intento. Creo que la respuesta es no (me han demostrado que la afirmación es verdadera para el normal subgrupos, pero parece que no hay necesidad de mantener arbitrarias de los subgrupos). Yo estaba buscando un contraejemplo en un no abelian grupo de la pequeña orden, tales como $S_3$o $S_4$, pero no pude encontrar una combinación adecuada de $H\leq S_n$, $\sigma$ e $\tau\in S_n$ tal que $\sigma \tau \in H$ e $\sigma^2 \tau^2 \notin H.$

Gracias de antemano por la ayuda.

Answer 1

Considere $S_3$ .

Deje $a=(1 2 3)$ y $b=(2 3)$ . Entonces $ab=(1 2)$ y $a^2b^2=(1 3 2)$

Deje $H=\{1, ab\}$ . Entonces $ab\in H$ pero $a^2b^2\not\in H$

Answer 2

Tome $G$ a ser el grupo libre en $a,b$, cuyos elementos son la reducción de palabras en el alfabeto $a,b,a^{-1},b^{-1}$.

Tome $H$ a ser el subgrupo cíclico generado por $ab$.

La no identidad de los elementos de $H$ son la reducción de palabras palabras $(ab)^n$ para $n \ge 1$ e $(b^{-1}a^{-1})^n$ para $n \ge 1$.

Desde la reducción de la palabra $a^2 b^2$ no tiene esa forma, se deduce que el $a^2 b^2 \not\in H$.

Answer 3

Deje $u \in G$ , $v \in H$ .

Tome $a=u$ , $b=u^{-1}v$ . Entonces $ab \in H$ .

Además, $a^2b^2=uvu^{-1}v$ , por lo tanto, $a^2b^2 \in H \Leftrightarrow uvu^{-1}v \in H \Leftrightarrow uvu^{-1} \in H$ .

Por lo tanto, si $H$ no es normal, la propiedad no se mantiene.