Límite de $\frac{\sqrt{1-\cos x}}x$ utilizando l'Hôpital

Question

Estoy tratando de encontrar $$\lim_{x\downarrow 0}\frac{\sqrt{1-\cos x}}{x}$$ utilizando la regla de l'Hôpital, pero parece que estoy atascado en un bucle. He intentado aplicar l'Hôpital varias veces pero las derivadas siempre contienen el radical y el conjunto acaba siendo $0\over0$

¿Hay alguna forma de reescribir $1-\cos x$ ¿o hay algo más que se me escapa?

Answer 1

HINT

Yo diría: $\quad\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-\cos(x)}}{x}=\left(\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right)^{1/2}=\cdots$

Answer 2

Una pista:

$$1-\cos x=2 \sin^2 \frac{x}{2}. $$

Answer 3

Otra pista: Multiplicar la parte superior y la inferior por $\sqrt{1+\cos(x)}$ .

Answer 4

Puede observar que $$ \sqrt{1-\cos x}=\sqrt{2\sin^2 (x/2)}=\sqrt{2}\:|\sin(x/2)|. $$

Answer 5

$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$ Así que..:

$$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-\cos x}}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{2}\big|\sin\frac{x}{2}\big|}{x}$$

$$=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}\big|\sin\frac{x}{2}\big|}{\frac{x}{2}}$$

$$=\frac{1}{\sqrt{2}}$$