Entendimiento del operador bajo una subtitución.

Question

En mis apuntes, tengo la siguiente frase:

Con $x = e^t$ y $x \frac{d}{dx} = \frac{d}{dt}$

¿Cómo, cómo conseguimos $x \frac{d}{dx} = \frac{d}{dt} $ ? Sé si diferencio con respecto a $t$ que obtengo

PS

¿No entiendo cómo se definen estos operadores? tal vez estoy malinterpretando la notacion?

Answer 1

Con

$x = e^t \tag 1$

tenemos

$\dfrac{dx}{dt} = e^t = x; \tag 2$

por lo tanto para cualquier función $f$

$x\dfrac{df}{dx} = \dfrac{dx}{dt} \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dt} \tag 3$

por la regla de la cadena. Así,

$x\dfrac{d}{dx} = \dfrac{d}{dt}. \tag 4$

Answer 2

$\frac {dy} {dt} =\frac {dy} {dx}\frac {dx} {dt} =\frac {dy} {dx} e^{t}=\frac {dy} {dx} x$ .