Subgrupos de Sylow y conjugación

Question

Supongamos que $G$ es un grupo finito cuyo fin es divisible por un primo $p$. Deje $S$ el conjunto de Sylow $p$-subgrupos de $G$; deje $H$ ser un elemento de $S$. $H$ actúa en $S$ por conjugación. El hecho de que es la clave para la prueba de el Tercer Teorema de Sylow es que sólo hay un $H$-órbita de la orden de $1$. Me preguntaba si se podría decir más sobre esta acción.

• Yo primero pensé que tal vez sólo hay dos $H$de las órbitas. Pero esto resultó ser falso en general. (Vi que era falso en el diedro grupo $D_{5}$.)
• A continuación, he comprobado si todas las órbitas de los otros de $\{H\}$ tiene orden de $H$. Esto es falso en general, también. (Esto es falso en $A_{5}$.)

Después de tocar el violín con algunos ejemplos, me encontré con que

todas las $H$de las órbitas, excepto $\{H\}$ parecen tener el mismo orden.

Pero puedo ni probar o refutar esta afirmación. Así que aquí están mis preguntas:

1. Es la anterior afirmación correcta? Si es así, ¿por qué?
2. Hay otras cosas que podemos decir acerca de la $H$de las órbitas?

Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias de antemano!

Answer 1

Por cálculo computarizado, el contraejemplo más pequeño es $S_3^2$ que tiene $9$ Sylow $2$ -subgroups, y la acción de uno de ellos por conjugación tiene un punto fijo, una órbita de longitud $4$ , y dos órbitas de tamaño $2$ .

Answer 2

Deje $\mathcal{S}=\{S \leq G: S \in Syl_p(G)\}$ el conjunto de Sylow $p$-subgrupos de $G$. Fijar un $S \in \mathcal{S}$ y deje $S$ actuar en $\mathcal{S}$ por conjugación. Entonces la longitud de la órbita de un $T \in \mathcal{S}$ es claramente $|S:N_S(T)|$, el índice de la normalizador de la $T$ relativo $S$. El siguiente es cierto.

La proposición Deje $S,T$ ser Sylow $p$-subgrupos de $G$, a continuación, $N_S(T)=S \cap T=N_T(S)$.

Prueba Vamos a probar la primera igualdad, ya que por simetría, el otro tiene. Claramente si $x \in S \cap T$, a continuación, $x \in N_S(T)$. Así que supongamos $x \in N_S(T)$, en particular, $x \in S $. A continuación, $\langle x \rangle T$ es un subgrupo. Y es $p$-subgrupo, ya que $|\langle x \rangle T|=\frac{|\langle x \rangle| \cdot |T|}{|\langle x \rangle \cap T|}$ y tenga en cuenta que $x$ es $p$-elemento. Pero $T \subseteq \langle x \rangle T$, pero $T$ es la máxima $p$-subgrupo, ya que es Sylow. Por lo tanto $T = \langle x \rangle T$, es decir, $x \in T$.

Así que el tamaño de cada una de las órbitas es $|S:S \cap T|$ (lo que equivale a $|T:S \cap T|$). Su pregunta se reduce a lo que puede decirse acerca de las intersecciones de las diferentes Sylow $p$-subgrupos. Estos no tienen que ser iguales que en el ejemplo de $S_3 \times S_3$ y su Sylow $2$-subgrupos de demostrar (vea @Verret). Finalmente observar, desde el oribit tamaño de $S$ sí es $1$ como se comentó, el número de Sylow $p$-subgrupos $n_p(G) \equiv 1$ mod $|S:S \cap T|$, donde $|S \cap T|$ es el elegido para ser tan grande como sea posible entre las $T$'s no es igual a $S$. Esto generaliza la fórmula regular $n_p(G) \equiv 1$ mod $p$.