No busco los ejemplos simples usuales de funtores como el grupo fundamental o los funtores olvidados, lo que busco son algunos ejemplos interesantes de construcciones de matemáticas "elementales" que son secretamente funcionales. Como la derivada: en realidad es un funtor, con la regla de la cadena que expresa la regla de composición de los funtores, pero eso nunca se discute en los cursos básicos de Cálculo.
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Cagri
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Uno de mis ejemplos favoritos de estos es el grupo de acciones.
Un (monoid o) grupo $G$ puede ser considerado como una categoría con un solo objeto $\star$, cuyos morfismos $\star \to \star$ son los elementos de $G$, y cuya identidad y la composición están dadas por la unidad de elemento $e$ y el grupo de operación, respectivamente.
A la izquierda de la acción de $G$ sobre un conjunto $X$ es precisamente un functor $\alpha : G \to \mathbf{Set}$, donde $G$ es considerado como una categoría en el anterior sentido.
- El conjunto $X$ es el valor de $\alpha(\star)$;
- Para cada una de las $g \in G$, obtenemos una función de $\alpha_g = \alpha(g) : X \to X$;
- Functoriality expresa el hecho de que $\alpha_e = \mathrm{id}_X$ e $\alpha_{gh} = \alpha_g \circ \alpha_h$.
Asimismo, un derecho de acción en un conjunto es precisamente un functor $\alpha : G^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Set}$.
Arnaud D.
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687
La función que envía un conjunto $X$ a su powerset $\mathcal{P}(X)$ es un functor; y, curiosamente, es un functor en más de un sentido!
Probablemente la forma más natural para convertirlo en un functor es definir, dada una función de $f:X\to Y$, $$\mathcal{P}(f):\mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(Y):A\mapsto f(A)=\{f(a)\mid a\in A\};$$ en otras palabras, enviamos $f$ a la función "imagen directa por $f$". Este es un functor, debido a que (por definición) $g(f(A))=(g\circ f)(A)$ para todos los $f:X\to Y$, $g:Y\to Z$ e $A\subset X$.
Pero también existe la función "inversa de la imagen por $f$", que se define como $$\mathcal{P}'(f):\mathcal{P}(Y)\to \mathcal{P}(X):B\mapsto f^{-1}(B)=\{a\in X\mid f(a)\in B\}.$$ Tenga en cuenta que aquí me cambié $X$ e $Y$; así que no es un functor en la categoría de conjuntos, pero desde el frente de la categoría de los conjuntos de la categoría de conjuntos, o si usted prefiere un functor contravariante en la categoría de conjuntos. Aquí el functoriality cantidades para el hecho de que $f^{-1}(g^{-1}(C))=(g\circ f)^{-1}(C)$ para todos los $f:X\to Y$, $g:Y\to Z$ e $C\subset Z$.
Randall
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18
En casi todos los cursos que tomaría un estudiante de licenciatura de matemática (EE. UU.), La construcción $F(X)=A \times X$ para un $A$ fijo define un funtor de cualquier categoría razonable para sí mismo (acción obvia en los mapas). Esto funciona para conjuntos, (abelianos) grupos, espacios topológicos, espacios vectoriales, anillos, etc. (Por supuesto, funciona en cualquier categoría con productos, pero estoy tratando de mantenerlo como "elemental").
Jacob Maibach
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Como se señaló, la diferenciación es un functor en la categoría de real, finito-dimensional) liso colectores. En particular, los mapas de cada colector $X$ a su tangente bundle $TX$, que creo que es isomorfo en general a $X \times \mathbb{R}^{n}$ apropiados $n$. Esto, curiosamente, hace que la diferenciación de un ejemplo de un functor de la forma $F(X) = A \times X$ descrito por @Randall (bueno, técnicamente es $X \mapsto X \times A$).
Sin embargo, el functor mapas suave funciones en una no-forma trivial. Para los colectores $X, Y$ y liso $f: X \to Y$, el derivado $D(f): TX \to TY$ es el mapa $$ D(f): (x,v) \mapsto (f(x), df_{x}(v)) $$ donde $df_{x}$ es el ordinario total derivado de la $f$ a $x$.
