Un contra-ejemplo para la integración por partes cuando hay singularidades "pequeñas"

Question

Estoy buscando un "contra-ejemplo" para la integración por partes de los siguientes tipos:

$\Omega \subseteq \mathbb R^n$ es un abierto, acotado, conectado dominio con suave límite. $u,v:\bar \Omega \to \mathbb R$ son reales-valores de funciones, donde $u$ es lisa y compacta, apoyado en $\Omega$, e $v$ es suave en un subconjunto abierto de $\bar \Omega$ cuyo complemento es un subconjunto cerrado de medida cero. Quiero $\int_{\Omega}(\partial_iu)v \neq -\int_{\Omega}u(\partial_iv)$, es decir, para demostrar la falta de integración por partes.

Editar:

¿La respuesta del cambio, si suponemos, además, que los $v$ es continua en todas partes en $\bar \Omega$?. BigbearZzz dio aquí un ejemplo con un no-continuos $v$.

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Si $v$ fue suave en todas las $\bar \Omega$, luego de la integración por partes de trabajo. El punto es que estoy limitando el singular conjunto a ser cerrado y de medida cero. Supongo que la integración por partes que aún no puede ser salvado, pero no tengo un ejemplo concreto.

Answer 1

Estoy un poco confundido por la pregunta, por favor dime que si que no entendí nada.

Considerar el dominio $\Omega=B_1\subset\Bbb R^2$, es decir, la unidad de la bola. Definir $v$ a $$ v(x)=\begin{cases}1 &; x<0 \\ 0 &; x\ge 0. \end{casos} $$ Podemos ver que $v$ es suave en $\overline\Omega\backslash l$, donde $l=\{(x,y)\in\Bbb R^2 : x=0\}$ que es un conjunto cerrado de medida cero.

A continuación, echaremos $\varphi\in C^\infty_c(\Omega)$. Desde $\nabla v(x)=0$ a.e., tenemos $$ \int_\Omega \varphi \partial_i v = 0. $$ Por otro lado, tenemos $$\begin{align} \int_\Omega(\partial_1\varphi)v = \int_{-1}^1 \varphi(0,y)\, dy \end{align}$$ dado que la distribución de derivados de $v$ es la medida de Hausdorff en $l$.

Answer 2

Para un continuo contraejemplo, vamos a considerar el caso de $\Bbb R^n=\Bbb R$ e $\Omega = (0,1)$. Deje $v$ ser el Cantor de la función

Que tiene la propiedad de que $v'(x)=0$ a.e., por tanto, para cualquier función de $\varphi\in C^\infty_c(0,1)$ hemos $$ \int_0^1 \varphi v' = 0. $$ Por otro lado, tenemos $$\begin{align} \int_0^1 \varphi'v = -c_0\int_{0}^1 \varphi(t)\, d\nu(t) \end{align}$$ donde $\nu=\mathcal H^\gamma\lvert_C$, el Hausdorff medida de la dimensión de $\gamma= \ln 2 /\ln 3$ restringido para el conjunto de Cantor $C$ (que es un conjunto compacto). Aquí $c_0$ es una normalización de la constante de la que no recuerdo.