Confusión de división larga polinomial (simplificando$\frac{x^{5}}{x^{2}+1}$)

Question

Necesito simplificar \begin{equation} \frac{x^{5}}{x^{2}+1} \end {equation} por división larga para resolver una integral. Sin embargo, sigo obteniendo una serie infinita: \begin{equation} x^{3}+x+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{3}}+... \end {equation}

Answer 1

Al dividir un polinomio por otro, se espera que un polinomio cociente. Por ejemplo, cuando se divide $x^3+x+1$ por $x+1$,

• Primero se multiplica $x+1$ por $x^2$ y restar el resultado, $x^3+x^2$, de $x^3+x+1$, dando el resto $-x^2+x+1$;

• Ahora, multiplica $x+1$ por $-x$ y restar el resultado, $-x^2-x$, de $-x^2+x+1$, dando el resto $2x+1$;

• Como paso final, se multiplica $x+1$ por $2$ y restar el resultado, $2x+2$, de $2x+1$, dando el resto $-1$. Por lo tanto,$$x^3+x+1=(x+1)(x^2-x+2)-1$$

Tenga en cuenta que usted no va más allá de la última etapa, debido a que el grado del resto, $2,(0)$ es menor que el grado del divisor, $x+1, (1)$. Para ir más lejos, usted tendrá que multiplicar $x+1$ por los términos que contienen potencias negativas de $x$, lo que significaría el cociente dejará de ser un polinomio en $x$. Por otra parte, no hay ninguna garantía de que este procedimiento va a terminar, como ya hemos visto.

La esencia de la realización de largo división para resolver la integral $$\int\frac{x^5}{x^2+1}dx$$ is to express $x^5=(x^2+1)Q(x)+R(x)$, where $Q(x),R(x)$ are polynomials in $x$ with degree of $R(x)<2$, which is the degree of the divisor, $x^2+1$.

Esto le da $$\frac{x^5}{x^2+1}=Q(x)+\frac{R(x)}{x^2+1}$$where $Q(x)$ can be easily integrated because it is a polynomial, and $\displaystyle\frac{R(x)}{x^2+1}$ se puede integrar el uso de fracciones parciales o técnicas similares.

Como otras respuestas han señalado, $$\int\frac{x^5}{x^2+1}dx=\int x^3-x+\frac x{x^2+1}dx=\frac{x^4}4-\frac{x^2}2+\frac12\ln(x^2+1)+C$$

Answer 2

La idea de la división de polinomios es como la división de enteros. Con la división entera de a$\frac nd$, lo queremos entero $q,r$ , de modo que $n=qd+r$ e $r\lt d$. Con la división polinómica de $\frac nd$, queremos polinomio $q,r$ , de modo que $n=qd+r$ e $\deg(r)\lt \deg(d)$. $$ \requieren{encerrar} \begin{array}{rl} &\phantom{)\,}\color{#C00}{x^3}\color{#090}{-x}\\[-4pt] x^2+1\!\!\!\!\!&\enclose{longdiv}{x^5\qquad}\\[-4pt] &\phantom{)\,}\underline{\color{#C00}{x^5+x^3}}\\[-2pt] &\phantom{)\,x^5}{}-x^3\\[-4pt] &\phantom{)\,x^5}\underline{\color{#090}{{}-x^3-x}}\\[-4pt] &\phantom{)\,x^5{}-x^3-{}}x\\[-4pt] \end{array} $$ Así obtenemos un cociente de $x^3-x$ y un resto de $x$, lo que nos permite escribir tanto $$ \overbrace{\quad\,x^5\quad\,}^n=\overbrace{\left(x^3-x\right)}^q\overbrace{\left(x^2+1\right)}^d+\overbrace{\vphantom{x^5}\quad\;x\quad\;}^r $$ y $$ \frac{x^5}{x^2+1}=x^3-x+\frac{x}{x^2+1} $$

Answer 3

¿Por qué no obtener una serie infinita?

Si $x^2 + 1$ no dividir uniformemente en $x^5$ (que no) usted recibirá un resto. Al igual que con los números con los restos de si intenta seguir obtendrá un decimal. Aquí si intentan dividir en el resto obtendrá una expresión con una potencia negativa.

La cosa es que cuando se obtiene un residuo que puede ser dividido en más.... que se detenga. Y que deje de ser simplemente un resto.

$\frac {x^5}{x^2+ 1} = \frac {x^5 + x^3}{x^2 + 1} -\frac {x^3}{x^2 + 1}$

$= x^3 - \frac {x^3 + x}{x^2 + 1} + \frac {x}{x^2+ 1} =$

$x^3 - x + \frac {x}{x^2 + 1}$.

Ahora no podemos dividir más lejos, ya que el grado del denominador ($x^2 + 1$) $2$ y que es mayor que el grado de que el numerador ($x$). Así que hemos terminado.

$\frac {x^5}{x^2 +1} = x^3 - x +\frac {x}{x^2 +1}$.

Dicho de otra manera: $x^5 = (x^3 - x)(x^2 + 1) + x$.

$x$ es .... sólo un resto que no se puede hacer cualquier cosa con el.

Es exactamente igual.

$\frac {249}{7} = \frac {210 + 39}{7} = \frac {210}7 + \frac {39}7=$

$30 + \frac {35 + 4}{7} = 30 + \frac {35}7 + \frac 47=$

$30 + 5 + \frac 47 = 35\frac 47$.

Hemos dividido la medida en que podamos ir.

Si has tratado de ir más allá íbamos a conseguir decimales:

$30 + 5 + \frac {40}{7*10} = 30 + 5 + {35 + 5}{70} = $

$30 + 5 + \frac 5{10} + \frac 5{70} =30 + 5 + \frac 5{10} + \frac {50}{700} =$

$30 + 5 + \frac 5{10} + \frac 7{100} + \frac 1{1000} + ......$.

$= 35.571428571428571428571428571429.....$

Pero no nos preguntó a ir y como no somos masoquistas.... nos detuvimos en $35\frac 47$.

$

Answer 4

$\frac {x^{5}} {x^{2}+1}= x^{3}-x+\frac x {x^{2}+1}$ .

Answer 5

Desde $x^5 = \left(x^2 + 1\right)\left(x^3 - x\right) + x$, tenemos que

$$\cfrac{x^5}{x^2 + 1} = x^3 - x + \cfrac{x}{x^2 + 1} \tag{1}\label{eq1} $$

Para ello, en general, la primera nota que $x^2$ se divide en $x^5$ total $x^3$ veces. Sin embargo, esto da $x^3\left(x^2 + 1\right) = x^5 + x^3$, por lo que es demasiado grande por $x^3$. Como tal, deberá restar un valor adecuado, con lo que se $x$ aquí debido a $x \times x^2 = x^3$. Sin embargo, $x\left(x^2 + 1\right) = x^3 + x$, por lo que restando esto significa que ahora usted es $x$ demasiado pequeño, por lo que hay que añadir ese $x$ espalda. Sin embargo, como el grado de $x$ sólo $1$, que es menor que el grado de $2$ en $x^2 + 1$, de dejar ese final $x$ como el resto. Esto, en total, da \eqref{eq1}.