Encontrar todos los polinomios $p(x)$ tal que $(p(x))^2 = 1 + x \cdot p(x + 1)$ para todos $x\in \mathbb{R}$

Question

Encontrar todos los polinomios $p(x)$ tal que $(p(x))^2 = 1 + x \cdot p(x + 1)$ para todos $x\in \mathbb{R}$ .

Supongo que $O(p(x)=n)$ (Donde O(p) denota el orden de p) deje $p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2} \dots \dots +a_{1}x^{1}+a_{n-1}$ también $a_n \neq 0$

Entonces tenemos $a_n^2x^{2n} +\dots +a_0^2=1+a_nx^{n+1}+ \dots a_0x$ desde $a_n \neq 0$ debemos tener $2n=n+1$ y por lo tanto $n=1$ por lo que el polinomio debe ser lineal y por lo tanto no existe ninguna solución(lo he demostrado suponiendo que $p(x)=ax+b$ )

¿Es correcto?

Answer 1

Tras observar que el grado es como máximo $1$ se puede simplificar el resto del argumento de la siguiente manera: $p(0)^{2}=1$ de la ecuación, por lo que $p(0)=\pm 1$ . También $p(-1)^{2}=1-p(0)$ . Considerando los casos $p(0)=1$ et $p(0)=-1$ por separado es bastante fácil llegar a la conclusión de que la única solución es $p(x)=x+1$ .

Answer 2

Nuestro OP SunShine ha deducido correctamente que $\deg p(x) = 1$ de modo que

$p(x) = ax + b; \tag 1$

calculamos:

$p^2(x) = a^2x^2 + 2ab x + b^2; \tag 2$

$p(x + 1) = ax + a + b; \tag 3$

$xp(x + 1) = ax^2 + ax + bx; \tag 4$

$xp(x + 1) + 1 = ax^2 + ax + bx + 1; \tag 5$

$a^2 x^2 + 2ab x + b^2 = ax^2 + ax + bx + 1; \tag 6$

$(a^2 - a)x^2 + 2abx + b^2 = ax + bx + 1; \tag 7$

$a^2 = a, \; b^2 = 1, \; 2ab = a + b; \tag 8$

$a = 0, 1; \; b = \pm 1; \tag 9$

$b = 1 \Longrightarrow 2a = a + 1 \Longrightarrow a = 1 \in \{0, 1 \}; \tag{10}$

$b = -1 \Longrightarrow -2a = a - 1 \Longrightarrow a = \dfrac{1}{3} \notin \{0, 1 \}; \tag{11}$

por lo que la única solución es $a = b = 1$ de modo que

$p(x) = x + 1. \tag{12}$

CHECK:

$p^2(x) = (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$ $= x(x + 2) + 1 = x((x + 1) + 1) + 1 = xp(x + 1) + 1; \tag{13}$

por lo que parece que la única solución es

$p(x) = x + 1. \tag{14}$