¿Cómo funciona la cuantificación canónica con las variables de Grassmann?

Question

Cada teoría cuántica de campos libro de texto que he encontrado parece tener la misma lógica de supervisión, debido a la orden que se ocupan de temas.

En primer lugar, los libros de introducir el Lagrangiano de Dirac, $$\mathcal{L} = \bar{\psi}(i \not\partial - m) \psi.$$ Para el cálculo de la canónica de impulso, se nota que $$\mathcal{L} \supset \psi^\dagger \gamma^0 (i \partial_0 \gamma^0 \psi) = i \psi^\dagger \dot{\psi}$$ en su mayoría negativos de la firma. Por lo tanto, el canónico, el impulso es $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\psi}} = i \psi^\dagger.$$ Luego uno se va a realizar de cuantización canónica.

Más tarde, los libros introducir el Majorana de Lagrange, que en Peskin y Schroeder (problema 3.4) tiene la forma $$\mathcal{L} = \chi^\dagger i \bar{\sigma} \cdot \partial \chi + \frac{im}{2} (\chi^T \sigma^2 \chi - \chi^\dagger \sigma^2 \chi^*).$$ El Majorana masa plazo se desvanece en la clásica de nivel, debido a que $\sigma^2$ es una matriz antisimétrica. La única salida es el postulado de que las dos componentes de spinor $\chi$ es realmente un Grassmann variable, por lo que los dos términos en la masa plazo tienen el mismo signo después de anticommutation. Habitualmente se considera que, en general, todos los spinor en un clásico de Lagrange tiene que ser un número de Grassmann.

Sin embargo, esto se contradice con el tratamiento anterior de la Lagrangiano de Dirac. Si tratamos $\psi$ como Grassmann número, a continuación, recogemos una señal en anticommuting la Grassmann derivados, así $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\psi}} = \frac{\partial}{\partial \dot{\psi}} (i \psi^\dagger \dot{\psi}) = - i \psi^\dagger \frac{\partial}{\partial \dot{\psi}} \dot{\psi} = - i \psi^\dagger.$$ Este signo negativo cambia completamente el resultado de la cuantización canónica, por ejemplo, conduce a una desastrosa negativa definitiva de la energía. El mismo problema se parece ocurrir en problema 3.4 de Peskin. Si uno correctamente las cuentas para el Grassmann signo flip cuando la realización de cuantización canónica, entonces uno llega a anticommutation relaciones que son opuestos a los dados en el problema.

He buscado a través de una pila de teoría cuántica de campos libros de texto, y frustrante, no es uno de ellos incluso se menciona que esta aparente incoherencia, porque todas cubrir el Majorana de Lagrange (y Grassmann números) después de que hayan terminado el Lagrangiano de Dirac, así que no hay oportunidad para este problema. Se podría evitar este problema diciendo que Grassmann sólo números aparecen en la ruta integral, pero luego se vuelve imposible canónicamente cuantizar el Majorana teoría debido a que la masa plazo se desvanece, lo que parece aún peor. ¿Qué está pasando aquí?

Answer 1

Cuando se trata de Grassmann números que tienen una "izquierda derivados" y un "derecho" derivado. A la izquierda de derivados elimina la variable de la izquierda, un derecho derivado de la quita de la derecha.

Supongamos que tenemos la función: \begin{equation} f(\theta_1, \theta_2)=f_0+f_1\theta_1+f_2\theta_2+f_3\theta_1\theta_2 \end{equation} Entonces el lado izquierdo del derivado con respecto a $\theta_1$es \begin{equation} \frac{\partial_L f}{\partial\theta_1}=f_1+f_3\theta_2 \end{equation} mientras que el derecho derivado con respecto a $\theta_1$es \begin{equation} \frac{\partial_R f}{\partial\theta_1}=f_1-f_3\theta_2 \end{equation}

Al definir el conjugado momenta, usted puede usar ya sea a la izquierda o a la derecha derivados, pero tienes que seguir la pista de su elección cuando se realiza una transformación de Legendre para obtener el Hamiltoniano. Si se define el impulso de la izquierda derivados, es decir, como \begin{equation} \Pi=\frac{\partial_L L}{\partial\dot{\theta}} \end{equation} a continuación, el canónicas de Hamilton tiene que ser \begin{equation} H=\dot{\theta}\Pi-L \end{equation} (usted puede ver fácilmente que es coherente con la definición de impulso con la izquierda derivados) y NO \begin{equation} H=\Pi\dot{\theta}-L \end{equation} (lo que habría funcionado si nos había definido el impulso de derecho derivados) como podemos ser tentados a escribir.

Si he entendido correctamente, este "signo de la ambigüedad" en la definición de impulso era su problema y esto debería resolver.