Buenas preguntas! Tal y como yo lo veo, una ODA sistema podría encontrar su interpretación por un campo de vectores o de una forma diferenciada. Permítanme tratar de proporcionar una vista mediante el haz de fibras. Espero que esto en parte puede proporcionar algunas respuestas a sus preguntas, y yo también espero con mucho interés a más respuestas de los genios de nuestra comunidad.
En los párrafos siguientes, vamos a centrarnos en el siguiente sistema de educación a distancia
$$
\dot{x}^{\mu}(t)=f^{\mu}(t,x^1(t),x^2(t),...,x^n(t))
$$
para $\mu=1,2,...,n$ (me gustaría agradecer a @MoisheCohen por lo que sugiere que esta aclaración).
Deje $M$ ser $n$-dimensiones variedad diferenciable, con $\left\{x^{\mu}\right\}_{\mu=1}^n$ siendo sus coordenadas locales. Deje $P=\mathbb{R}\times M$. Considere el siguiente trivial haz de fibras $\pi:P\to\mathbb{R}$, donde $\mathbb{R}$ sirve como base el espacio con $t$ siendo sus coordenadas local, $M$ desempeña el papel de la fibra, y $P$ se convierte en el espacio total.
Considerar la tangente paquete de $P$, que se denota por a$TP$. Obviamente,
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\left\{\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}:\mu=1,2,...,n\right\}
$$
constituye una base de $TP$. Ahora, esperamos que para asignar una conexión en $TP$ buscando directa de la suma de descomposición $TP=HP\oplus VP$, donde $VP$ denota el espacio vertical de $TP$, es decir, $\forall\,p=\left(t,x\right)\in\mathbb{R}\times M=P$, $V_pP=T_x(\pi^{-1}(\pi(p))$, mientras que $HP$ es llamado el espacio horizontal de $TP$.
Tal asignación se podía hacer de dos manera idéntica. Partamos de una interfaz intuitiva. Es obvio que una base para $VP$ podría ser
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\left\{\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}:\mu=1,2,...,n\right\},
$$
ya que cada uno de estos vectores es tangencial a la fibra. Por lo tanto, es suficiente para construir una base para $HP$. Desde $HP$ es un subespacio de $TP$, su base no es más que una combinación lineal de todos los vectores de la base de $TP$. Desde $TP=HP\oplus VP$ y la base para $VP$ no se incluyen los $\partial/\partial t$, la base de la $HP$ debe de ser no-degeneradas, $\partial/\partial t$ plazo. Por lo tanto trivial elección de la base de vectores es
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\frac{\partial}{\partial t}+f^{\mu}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}},
$$
donde cada una de las $f^{\mu}$ es una función de $t$ y todos los $x^{\nu}$'s, y la notación de Einstein ha sido empleado. Para resumir, tenemos
\begin{align}
HP&=\text{span}\left\{\frac{\partial}{\partial t}+f^{\mu}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\right\},\\
VP&=\text{span}\left\{\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}:\mu=1,2,...,n\right\}.
\end{align}
Esta asignación se define una conexión en $P$.
Alternativamente, la tarea podría realizarse también mediante la definición de una $VP$valores diferenciales $1$-forma en $P$, que se denota por a$\omega$, de tal manera que $HP$ es su núcleo y $VP$ es su imagen. Esta $\omega$ es fácil de determinar. Compatible con la base de $HP$ e $VP$ desde arriba, es claro que
$$
\omega=\left({\rm d}x^{\mu}-f^{\mu}{\rm d}t\right)\otimes\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}.
$$
Uno puede comprobar que su núcleo es exactamente $HP$ definido desde arriba.
Antes de pasar a nuestro sistema de educación a distancia, resumiremos la definición de la horizontal ascensor. Deje $\gamma:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser una curva en la base del espacio de $\mathbb{R}$. Una curva de $\sigma:\mathbb{R}\to P$ se denomina horizontal de elevación de $\gamma$ en el espacio total $P$ si $\pi(\sigma)=\gamma$ y su vector tangente $\dot{\sigma}\in HP$.
Ahora, podemos relacionar todos estos argumentos a nuestro sistema de educación a distancia. En coordenadas locales, sin pérdida de generalidad, tome $\gamma(t)=t$. Deje que sus horizontal ascensor ser $\sigma(t)=\left(t,x^1(t),x^2(t),...,x^n(t)\right)$, donde cada una de las $x^{\mu}=x^{\mu}(t)$ está por determinarse. Tenga en cuenta que $\dot{\sigma}$ puede ser tomado como un vector tangente por
$$
\dot{\sigma}=\frac{\rm d}{{\rm d}t}=\frac{\partial}{\partial t}+\dot{x}^{\mu}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}.
$$
Por lo tanto la forma de la base de vectores de $HP$, así como la condición de $\dot{\sigma}\in HP$, implica
$$
\dot{x}^{\mu}(t)=f^{\mu}(t,x^1(t),x^2(t),...,x^n(t))
$$
para $\mu=1,2,...,n$, que es exactamente nuestro sistema de educación a distancia. Alternativamente, siempre que $\dot{\sigma}\in HP$ es equivalente a $\omega(\dot{\sigma})=0$, tenemos
$$
\left({\rm d}x^{\nu}-f^{\nu}{\rm d}t\right)\biggl(\frac{\partial}{\partial t}+\dot{x}^{\mu}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\biggr)=0
$$
para $\nu=1,2,...,n$, lo que también lleva a nuestro sistema de educación a distancia
$$
\dot{x}^{\nu}(t)=f^{\nu}(t,x^1(t),x^2(t),...,x^n(t)).
$$
En resumen, la solución a un sistema de educación a distancia $\dot{x}=f$ puede ser tomado como la horizontal de elevación de $\mathbb{R}$ (que es el mismo que el de la curva en $\mathbb{R}$) en el haz de fibras se $P=\mathbb{R}\times M$ cuya conexión es asignado por $f$, donde $x$ es el de coordenadas local de la fibra $M$. En la construcción de la conexión, $f$ parece ser cualquiera de los coeficientes de la combinación lineal de los vectores tangente, o los coeficientes de un diferencial de $1$-forma.
Eso es todo! Espero que esta parte responde a su pregunta. Y espero más respuestas de los genios de nuestra comunidad.
