Un nenúfar, que duplica su tamaño cada día, cubre un estanque en 30 días. ¿Cuánto tiempo tardarían ocho nenúfares en cubrir el estanque?

Question

Un nenúfar se encuentra en un estanque. Su tamaño se duplica cada día. Tarda 30 días en cubrir el estanque. Si se empieza con 8 nenúfares en su lugar, ¿cuántos días tarda en cubrir el estanque?

Creo que la respuesta es $27$ pero no creo que eso tenga sentido intuitivamente. Creo que, intuitivamente, la respuesta debería ser menor que $30/4$ ya que aumenta a un ritmo exponencial.

Answer 1

Empezando con 8 unidades es como si hubieran pasado 3 días. Así que quedan 27 días.

Answer 2

Sugerencia $\#1$ :

Al final de la $30$ días con un lilypad, la duplicación significa que el lilypad ahora abarca el área de $2^{30}$ de los lilypads originales.

En este sentido, a partir de $2^3 = 8$ lilypads y que cada uno duplique su tamaño por día, ¿cuántas duplicaciones necesitará para llegar a $2^{30}$ ?

(Sé que ya lo has resuelto, sólo creo que reformular la pregunta podría hacerla un poco más fácil de entender a nivel intuitivo).

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Sugerencia $\#2$ :

Si eso no ayuda a facilitar la intuición de su respuesta (que a mi entender es correcta), tenga en cuenta que al comenzar con $8$ lilypads no es básicamente diferente de su primer escenario después de $3$ días. Claro, tienes más lilypads, pero como cada uno duplica su tamaño, no es diferente de un lilypad del mismo tamaño que los $8$ juntados y luego duplicados. El número de lilypads difiere, pero nos centramos en el área total abarcada.

Answer 3

Otra forma de verlo es trabajar hacia atrás.

En primer lugar, considere el único nenúfar. Después de $29$ días cubre la mitad del estanque. Después de $28$ días un cuarto del estanque. Después de $27$ días un octavo del estanque.

Así que después de $27$ días ocho nenúfares cubrirían todo el estanque.

Answer 4

Creo que, intuitivamente, la respuesta debería ser menor que $30/4$ ya que aumenta a un ritmo exponencial.

La almohadilla de lirio duplica su tamaño cada día, por lo que aumenta como una progresión geométrica. $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} \text{n-th day}&1&2&3&4&\cdots&26&27&28&29&30\\ \hline \text{size of $1$ lily pad}&1&2&2^2&2^3&\cdots&2^{25}&2^{26}&2^{27}&2^{28}&\color{red}{2^{29}} \end{array}$$

Si empiezas con $8$ Los nenúfares, cada uno de los cuales se duplica por sí mismo, entonces: $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} \text{n-th day}&1&2&3&4&\cdots&26&27&28&29&30\\ \hline \text{size of $8$ lily pads}&2^3&2^4&2^5&2^6&\cdots&2^{28}&\color{red}{2^{29}}&2^{30}&2^{31}&2^{32} \end{array}$$ Porque cuando cada uno de $8$ de nenúfares sigue duplicándose por día, el $8$ aumento de los nenúfares $8$ veces más rápido en tamaño en conjunto que el de un lirio. Por lo tanto, hay que multiplicar el tamaño de un nenúfar en cualquier día por $8=2^3$ para encontrar el tamaño total de $8$ nenúfares.

Como este fuente informa, el Lirio de Agua Gigante puede crecer tanto como $8$ a $9$ pies ( $2.4-2.7$ m) de diámetro.

Answer 5

$27$ es la respuesta correcta. Considera en qué momento el nenúfar original tiene 8 veces su tamaño original (después de tres días), y cuánto tarda en cubrir el lago a partir de ahí.

Además, esta relativa "indiferencia" ante una aparentemente gran disparidad en el punto de partida (" $x$ veces más para empezar significa que se necesita $30-y$ días en lugar de $30/y$ ") es exactamente lo que significa el crecimiento exponencial.