Asumiendo la existencia de soluciones en la resolución de ejercicios.

Question

Un gran pedazo de mi primer curso de cálculo en la universidad compone de técnicas de aprendizaje para evaluar los límites, como este simple ejemplo, evaluar el límite: $$\lim_{x \to 7} \frac{x^2 -8x + 7}{x-7}.$$

Una solución típica sería identificar que para $x \neq 7$, $$\frac{x^2 -8x + 7}{x-7} = x-1,$$ so $$\lim_{x \to 7} \frac{x^2 -8x + 7}{x-7} = \lim_{x \to 7} x-1 = 6.$$

En mis ojos, hemos demostrado que si el límite existe, su valor debe ser $6$. No hemos demostrado que el límite existe, en primer lugar y es igual a $6$, ya que tenemos que presupone la existencia de un límite al escribir

$$\lim_{x \to 7} \frac{x^2 -8x + 7}{x-7} = \lim_{x \to 7} x-1,$$

dado que la existencia de ambos objetos en cualquiera de los lados de una igualdad es una condición necesaria para que la igualdad sea verdadera (¿verdad?).

Mis preguntas principales son: ¿esos métodos de evaluación de servir como evidencia de que estos límites en el hecho de existir, en primer lugar, ¿o es que sólo nos dicen lo que el límite debe ser, y la única manera de estar seguro es formalmente demostrar que el uso de la $\epsilon$-$\delta$ definición? Es este caso similar a la "conclusión" de que los derivados de las funciones?

Answer 1

No hay ningún problema lógico con este argumento. Las expresiones $$ \frac{x^2 -8x + 7}{x-7} \text{ y } x-1 $$ son iguales al $x \ne 7$, por lo que la primera expresión tiene un límite en $7$ si y sólo si el segundo no. No hay necesidad de suponer la existencia del límite de antemano.

Si usted necesita o no la $\epsilon - \delta$ argumento para encontrar el límite de $x-1$ depende del nivel de rigor de su instructor requiere.

(Hay otras situaciones en las que una correcta argumento tiene la forma

el límite es de tal y tal siempre el límite existe

generalmente seguido por una prueba separada que hay un límite.)

Answer 2

Tenga en cuenta que cuando nos encontramos con el límite de una función en un punto el valor de la función en ese punto no es importante.

En su ejemplo, la función de $f(x) =\frac {x^2-8x+7}{x-7}$ e $g(x)=x-1$ tienen los mismos valores en todos los puntos excepto en $x=7$ por lo tanto tienen los mismos límites en ese punto.

Desde $g(x)$ tiene un límite de $6$ a $x=7$ lo hace $f(x)$.

Answer 3

El $\epsilon-\delta$ enfoque es el más seguro y estándar de la definición de límite. Para mostrar que $\lim_{x\to x_0}f(x)$ existe y es igual a $L$, tenemos que mostrar que $$0<|x-x_0|<\delta\to |f(x)-l|<\epsilon$$here we need to show that $$0<|x-7|<\delta\to \left|{x^2-8x+7\over x-7}-6\right|<\epsilon$$also note that for $|x-7|>0$ we have $x\ne 7$ therefore $$\left|{x^2-8x+7\over x-7}-6\right|<\epsilon\iff |x-1-6|<\epsilon $$which means that choosing $\delta=\epsilon>0$ we have proved the existence of the limit i.e.$$0<|x-7|<\epsilon\to \left|{x^2-8x+7\over x-7}-6\right|<\epsilon$$therefore$$\lim_{x\to 7}{x^2-8x+7\over x-7}=6$$Comentario

Usted puede aprovechar esta definición cada vez que quería encontrar el límite de $${(x-x_0)g(x)\over x-x_0}$$ in $x=x_0$.

Answer 4

Usted realmente no presupone la existencia de un límite y yo diría que su argumento está muy bien. Si quieres ser realmente muy escrupuloso, tal vez usted podría volver a ordenar las cosas en la línea final de su argumento.

Tenemos $$\frac{x^2 -8x + 7}{x-7} = x-1$$ para $x\ne7$, y $$\lim_{x\to7}x-1=6\ ,$$ así $$\lim_{x \to 7} \frac{x^2 -8x + 7}{x-7} =6\ .$$

La escritura de esta manera, usted tiene una justificación inmediata para cada límite de reclamación. (Aunque, como ya he dicho, no creo que hay algo seriamente mal con la forma en que has escrito.)

Answer 5

Evaluación de un límite en el paso por la moda basado en el límite de las leyes también demuestra que el límite existe (o no existe dependiendo del resultado final).

El significado de el primer paso en la evaluación $$\lim_{x\to 7}\frac{x^2-8x+7}{x-7}=\lim_{x\to 7}x-1$$ is that the LHS of the above equation exists if and only if the RHS exists. To elaborate further the above statement signifies that the limiting behavior of the function $(x^2-8x+7)/(x-7)$ as $x\a 7$ is exactly the same as that of function $(x-1)$ so that if one converges (diverges / oscillates) so does the other. Any algebraic manipulation which is valid for $x\neq un$ can be used as a reversible step when evaluating the limit of a function $f(x) $ as $x\a de un$ y su primer paso es de este tipo.

El segundo paso $$\lim_{x\to 7}x-1=6$$ uses standard limits $$\lim_{x\to a} x=a, \lim_{x\to a} k=k$$ y el límite de la regla de lidiar con la diferencia de funciones y, en este paso de la evaluación de límite es completa.

En general, cuando se evalúa el límite de una complicada función en el paso a paso de la manera, entonces uno debe asegurarse de que cada paso (excepto la última, que elimina el límite de operador) debe ser incondicional, verdadero / reversible / de tipo si y sólo si. Generalmente este hecho no se afirma sino asumida implícitamente. Y por lo tanto, mientras que la realización paso a paso de la evaluación de un límite que no es necesario demostrar apriori que el límite en cuestión existe.

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Nota 1: El uso de L'Hospital de la Regla no es absoluta / reversible y, por tanto, los pasos son lógicamente correcto sólo cuando el método logra dar una respuesta. Si la solicitud de L'Hospital de la Regla de no dar una respuesta definitiva, ésto no significa que el límite original no existe. Así que cuando uno utiliza esta técnica como L'Hospital de la Regla (que funciona en una sola dirección), entonces es mejor para asegurar que (a través de rudo trabajo) que se realiza correctamente y, a continuación, escriba el paso a paso de la evaluación.

Nota 2: El límite habitual de las leyes (también conocido como álgebra de límites) como se indicó en la mayoría de los libros de texto comunes no son reversibles (usted debe ver a sus declaraciones, en las que asume la existencia de límites a la conclusión de la existencia / evaluación de los relacionados con los límites). Estas formulaciones estándar que puede ser reemplazado por su reversible contrapartes que se describen en esta pregunta.