Demostrar

Question

He estado intentando sin éxito resolver este problema de estilo de concurso por un tiempo.

Intenté diferentes sustituciones y eso, pero nada ayudó. Supongo que la solución está relacionada con Cauchy-Schwarz? De todos modos, cualquier consejo sería apreciado!

Dado$a, b, c, d \in \mathbb{R^+}$, demuestre que$$(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2 \ge (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)

Nota: soy nuevo en el sitio, perdón si estoy infringiendo alguna regla o convención.

Answer 1

Por la desigualdad AM-GM: $$(a+b)(c+d) \leq \frac{1}{4}(a+b+c+d)^2, $$$ $(b+c)(d+a) \leq \frac{1}{4}(a+b+c+d)^2,$ $y por la desigualdad AM-QM:$$\frac{1}{4}(a+b+c+d)^2 \leq (a^2+b^2+c^2+d^2).$ $ El reclamo es fácil.